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ホースをつまむと速度が増大する？
tgbの回答
式を使った理論的な説明を希望されているようですが、 損失を見積もる部分についてはどうしても経験的な結果を利 用せざるを得ないと思います。 先ず、損失についてですが、損失はその部分での流速をＶ とするとき、一般に ｋ・（Ｖ・Ｖ／２ｇ） で表されると考えます。これは損失が、単位質量（体積） 当たりの運動エネルギーに比例する事を仮定するもので速く 動いていればそれだけ損失も大きいと言うことで感覚的に納 得できるのではないかと思います。ｋは水の運動とは無関係 に決められるパラメータで損失係数と言っています。ｋは断 面形状、断面変化の割合等により実験的に決められます。円 形管路の場合は特に ｋ・（ｌ／Ｄ）（Ｖ・Ｖ／２ｇ） で表されますが、これは水と管路の壁面の接触面積が大きい ほど抵抗も大きくなることから単位体積当たり接触面を求め ると管の断面寸法に反比例することおよび、管全体を通して の累積としての損失が管の長さに比例するとして理解いただ けると思います。 ベルヌーイの式に損失Ｈｒを追加して書き直すと Ｖ・Ｖ／２ｇ＋Ｐ／ρｇ＋Ｚ＋Ｈｒ＝ｃｏｎｓｔ． となります。Ｈｒはその点までの損失の累積です。この式に タンクの水面で 高さＺ＝Ｈ０、Ｐ＝０、Ｖ＝０、Ｈｒ＝０ を適用し、ホースの出口で 高さＺ＝０、Ｐ＝０、Ｖ＝Ｖ、 Ｈｒ＝Ｈｒを適用して等値すると Ｖ・Ｖ／２ｇ＋Ｈｒ＝Ｈ０ ここで損失Ｈｒをタンクの出口と管路内の損失（Ｈｒ１）と ホースの出口の損失（Ｈｒ２）に分けて考え、損失係数を まとめてそれぞれｋ１、ｂ・ｋ２ （ｋ１＝ｋ１１＋ｋ１２・ｌ／Ｄ、 ｂについては後述） とします。また、 タンクからの流出量（流量）をＱ ホース内の流速をＶ１ ホースの出口での流速をＶ２ ホースの断面積Ｓ ホースの出口での断面積ａ・Ｓ 断面絞り率ａ（ａ≦１） 断面を絞っていくとホースの出口での損失係数が変化するの でこの変化の割合をｂとします。 ｂはホースを開いた状態（ａ＝１）でｂ＝１であり この状態から断面を絞って行く（ａ＜１）と増大してｂ＞１ となります。ｂはａの関数として実験的 に決められるものとします。ホースの出口での損失係数は このｂを使ってｂ・ｋ２となりｋ２はホースを絞らない（ａ ＝１）時の値になります。 連続の式から Ｖ１＝Ｑ／Ｓ Ｖ２＝Ｑ／（ａ・Ｓ） 損失について Ｈｒ ＝Ｈｒ１＋Ｈｒ２ Ｈｒ１＝ ｋ１・（Ｖ１・Ｖ１／２ｇ） Ｈｒ２＝（ｂ・ｋ２）・（Ｖ２・Ｖ２／２ｇ） 変形ベルヌーイの式にＶ＝Ｖ２を代入して、更に 上記の関係を利用して少々計算し変形すると Ｖ２＝ｓｑｒｔ（２ｇ・Ｈ０／ （１＋ｋ１・ａ・ａ＋ｋ２・ｂ）） が得られます。 この式からＶ２がどのように変化するかを大雑把に見る ことができます。ただし、現時点ではａ、ｂについてｂがａ の関数で表せ、ａの減少によりｂは増大と言う程度のことし か分かっていませんので、実際の場面との照合で考えるしか ありません。 断面を絞って行くとａは１から段々小さくなります。この とき、ｂは１から段々大きくなって行きます。従って、 ｋ１・ａ・ａは小さくなり、 ｋ２・ｂは大きくなるので 全体としてＶ２が増加するか減少するかについてはこの両者 のバランスによって決まるのでａ、ｂの具体的な関係が与え られない限りここでは結論を出せません。実際の場面を想定 してｋ１・ａ・ａの小さくなるなり方の方が大きいのであろ うと言うことは予想できます。 また、ホースが長い等の理由でｋ１が大きい場合はホース を絞る効果は大きく出ると予想されます。これについてはそ の効果がどの程度の大きさかについては分かりませんので、 実際には効果として認識できないと言うことも当然あり得ま す。 逆に、タンクから直接流出口に繋がる場合には上で述べた ような調節機構が働かないことになるので、位置エネルギー の変化を無視できるような通常の範囲でのサイズの流出口を 考える限りは、流出口を小さくすると一方的に損失が増える だけで流速の増加は期待できないと言う結論が出せることに なります。 以上の議論から分かるようにソースの出口から出る流速の 変化には、ホースの断面を変えることによるタンクからホー ス出口までの間のエネルギー損失の分布の変化が支配的な要 因であり、この損失を見積もるためには実験的な方法しかな いので、これ以上理論的な説明は期待できないのではないで しょうか？
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