可換環Ｓの素イデアル

質問

可換環Ｓの素イデアル
Ｐ＿1⊂Ｐ＿2が共に可換環Ｓの素イデアルのときＳ’＝Ｓ／Ｐ＿1とすると

Ｐ’＝ Ｐ＿2／Ｐ＿1はＳ’の素イデアルというのは、成り立ちますか。否ですか。
成り立つなら証明を、成りたたないなら、例えばどのような条件を付ければ成り立つか。

回答No.1

ojisan7 · ベストアンサー

素イデアル列P_1⊂P_2について、P_2/P_1はS/P_1の素イデアルになります。このことは乗余環P_2/P_1の２つの要素の積が(a+P_1)(b+P_1)=(ab+P_1)と定義できることと、P_2が素イデアルであることを使えば、証明できます。難しくはないと思いますので、ご自分で証明して下さい。

お礼

答えをきくと明らかといっていいですね。わからないときは、きちんと定式化してノートへかくべきでした。どうもありがとうございました。