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広義積分についての問題です。
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Siegmundさんが、 「a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません. 1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)} として,あとは ・・・」 と指摘されているとおりです。 私の計算はそれを見落としていて、π になりました。 -i 倍 の答えになるはずだから、 答えは -iπ でしょう。 私が最初に間違った答えを書いたので、お困りかと思い、追記しました。 それから、もっと詳しい解答をお望みですか? 私個人はkony0さんのもっと詳しい解説が読みたいですし、 ikecchiさん自身の答案も見たいです。
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- kony0
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まったくの蛇足です。(^^;) 積分を行うだけなら、ベータ関数に持っていくという手もあります。 つまり、x:a→bのとき、y:0→1となるような線形写像y=(x-a)/(b-a)を考えると、 (x-a)(x-b) = (b-a)^2 * y(y-1), dx = (b-a) dy となるので、 あとは#3のsiegmundさんのおっしゃるとおり、√の中が負になることに注意して、 (与式)=∫1/{i(b-a)√y(1-y)} (b-a)dy = -i ∫y^(-1/2) (1-y)^(-1/2) dy = -i * B(1/2,1/2) = -i * Γ(1/2)*Γ(1/2)/Γ(1) = -i * (√π)^2 / 1 = -iπ(答)
- siegmund
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a~b では (x-a)(x-b) < 0 ですから.ちょっと注意しないといけません. 1/√{(x-a)(x-b)} = -i/√{(x-a)(b-x)} として,あとは (1) x = a cos^2θ + b sin^2θ とおけばいいでしょう. こうおくと (2) √{(x-a)(b-x)} = (1/2)(b-a) sin 2θ (3) dx/dθ= (b-a) sin 2θ ですから,もうできたも同然です. 答は -iπ のようです.
- hanger
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∫1/√(x-a)・(x-b)dx=∫1/√(展開して完全平方式にする)dx =log(x-(a+b)/2+√xの2乗+A)なので ただしAは定数部分です。 ∫1/√xの2乗+Adx=log絶対値(x+√xの2乗+A)を利用しました。 これを範囲をa+1/n~bのときとa~b-1/nのときに分けてそれぞれnを無限大に したときの極限値が一致することを示せば出来ますよ。 分かりましたか?
- mickel131
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私の計算では、答えは π になりました。
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