数学の式の変形についての疑問
- 数学で習った式の変形について疑問があります。具体的には、x^2-2x=0の解を求める際に、x(x-2)=0と変形する部分について疑問が生じました。
- 特に、(x-2)という部分がx^2-2xをxで割ったものと考えると、解の1つであるx=0で0の除算となります。この点がしっくりと理解できず、パラドックスを感じています。
- 実際にはx=0でないと仮定してからx^2-2x=x(x-2)と変形し、あとからx=0が成り立つと考えるのでしょうか?数学的な解釈を詳しく説明していただけますか?
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ふと疑問に思ったこと
次元の低い質問で恐縮ですが、中学の頃習った数学で 今ごろふと疑問に思ったことがあります。 x^2-2x=0の解は、 x^2-2x=x(x-2)=0で、 x=0またはx=2ですよね。 それで、式の変形の x^2-2x=x(x-2)の (x-2)という部分は、 x^2-2xをxで割ったものですよね。 しかし、そう考えると解の1つはx=0で0の除算となるので、 なんかしっくりいかないのです。 本来はx=0でないと仮定してから x^2-2x=x(x-2)として、 あとからx=0が等式として成り立つと考えるのでしょうか? 単純な式の変形が、 何かパラドックスを含んでいるように思えるのです。 わかりやすく説明していただけますか?
- harisun
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- 数学・算数
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質問者が選んだベストアンサー
結論から言うと、harisunさんの疑問は 「『ゼロで割ってはいけない』ということの理解が正確でない」 ことに端を発しています。 x^2 - 2x = x(x - 2)という変形自体は、 xがゼロであるか否かには無関係に正しいです。 >本来はx = 0でないと仮定してから と考える必要はありません。 仮にxがゼロであったとしても、上の等式は 0 = 0 × (-2)ということで文句無く成り立ちます。 「ゼロで割ってはいけない」というのは こういうことを禁止しているのではありません。 それではどういうことかというと、 「『0 × a = 0 × b』という等式が成り立つときに、 両辺を0で約して『a = b』と結論してはいけない」 ということです。 簡単に言えば 0 × 1 = 0 × 2 だからといって 1 = 2 ではない という意味です。 このことから更に言えることは、 「xがゼロという値を取る可能性があるときに、 『ax = bx』が成り立つからといって 両辺をxで約して『a = b』と結論してはいけない」 ということです。 ご質問の方程式で言えば、 x^2 - 2x = 0 の左辺は x(x - 2)と変形でき、 また右辺は x・0 と変形しても構いません。 しかし、この変形で x(x - 2) = x・0 という方程式が得られても、 両辺をxで割ってx - 2 = 0と変形するのは誤りです。 ご覧の通り、二つの解のうちの一つが 消失してしまっていますね。 「ゼロでは割るな!」という標語だけがあまりに有名過ぎて、 その的確な意味が曖昧になっている人はたくさんいると思います。 そしてその大半は harisunさんの抱いたような疑問を感じることもなく 通り過ぎてしまっているのではないでしょうか。
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