頭は文系なんですが・・・

質問

高校で数学をとっていなかったんですが（商業科なので）、大学の卒業論文でなぜだかテーマが「数値解析プログラム」になってしましました。情報系の学科に所属してはいますが、数学は大の苦手で、中学以来といってもいいくらいです。どなたか、
１．差分法の概説
２．拡散方程式
３．Ｌｏｔｋａ－Ｖｏｌｔｅｒｒａ方程式（生物）
について何でもいいので教えてください。お願いします。良い本など、何でもいいです！！

回答No.8

stomachman · ベストアンサー

さてさて、第３弾です。

Lotka-Volterra(L-V)方程式の軌道を描くだけなら、もし
f(x) = x - ln(x) の逆関数、あるいは、
F(x) = exp(x) / x の逆関数（F(x) = exp(f(x))だから、Fの逆関数が分かればfの逆関数も分かる。）
を求めることができれば、わざわざ差分方程式を使わなくても、保存則Sだけで計算できます。（どうしてか分かりますよね？）また、差分方程式を安定に計算するのにも、Sを使うから、この逆関数の計算が必要です。

　既に、よく使われるニュートン法による計算法を示しましたが、xの値が1に近いときには計算が不安定になるという性質を持っていて、二通りの計算法を切り替える必要がありました。ここでは「もう少し遅いけれど、収束が安定している方法」を紹介します。これだと、切り替えが（多分）不要です。
　実は、面白いことに、最近同じ問題「F(x) = exp(x) / x の逆関数」が質問としてUPされているんです。(http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=17648)
　以下はその質問の回答として移動中の時間を使って書いたんだけど、UPするまえに質問者がCLOSEしてしまって宙に浮いていたもの。（いやー、こんなに早く日のめを見るとは思わなかった。）
以下の(2)(3)の漸化式を使って計算すれば、F(x)の逆関数x(F)の値が出せます。L-V方程式ではx>0かつF(x)>e についてだけFの逆関数が求められれば十分です。

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(1) まず、F(x)のグラフを描いてみて下さい。表計算ソフト(excelとか)を使うと簡単です。
F(x)=exp(x)/xはx<0 では負, x>0 では正です。x->+0では∞、x->-0では-∞、x->∞では∞、x->-∞では0であることが分かります。F(x)の導関数（xによる微分）は
F'(x) = ((x-1)/(x^2))exp(x)
だから、F(x)は x=1 だけで極値（極小）を持つことが分かります。この極小値はF(1) = e　（e=exp(1)です）。F(x)はx>0では下に凸の関数です。これでF(x)のグラフが描けたことでしょう。
　明らかに、F(x)の逆関数 x(F)はF<0およびF>=eの範囲でだけ定義され、e>F>=0の範囲には値がありません。 x(F)はF<0では１価関数、F>=e では２価になります。一方の解はx>=1, もう一方は1>=x>0の範囲にある(x=1の時のみ二つの解が一致）という訳です。

(2) 逆関数は簡単な数式で表せません。まずx>1の方の解だけ考えることにしましょう。
（以下ではFの代わりにyと書いています。）y>eの時の、y = exp(x)/xの逆関数x=G(y) (ただしx>1となる枝）は、以下に示す漸化式x[0], x[1],...の極限です。（ln()は自然対数、exp()は指数関数です。）
x[0]= ln(y)
x[1]= ln(y) + ln(x[0])
:
x[n+1]= ln(y) + ln(x[n])
:
強いて一つの式にまとめると
x =G(y)= ln(y)+ln(ln(y)+ln(ln(y)+ln(ln(y)+ ......
と表せる。これが一つの答です。（他にも表し方はある。）

(3) では0<x<1におけるx(y)の漸化式は?
x[0]=1/y
x[n+1]=exp[n]/y
です。まとめるとどうなるか、はご自分で。

(4) すぐに信用しちゃいけません。(2),(3)をFに代入してF(G(y))=y になる事を確かめてみてください。またG(F(x))=xもやってみてください(面白いですよ）。数値的には、表計算ソフトでも(1)(2)のやり方でx[0], x[1],...が簡単に計算できますから確かめてみてください。（なお、もっと速い計算法としては「ニュートン法」があります。）

(5) では(2)の導出のあらすじを書いときましょう。（(3)はそのバリエーションでできます。）
x>=１という条件で考えます。y = exp(x)/x をln(y)=x-ln(x)と変形しておきます。
x>1ではxもln(x)も単調増加なのに、ln(y)=x-ln(x)が単調増加である。だから、ln(x)の項よりxの項の方が優位である(増え方が速い)ことが分かります。そこでとりえあえずln(x)の項を無視した第０次近似として
x[0]= ln(y)
を考えます。誤差（正解との差）は
x-x[0] = (ln(y)+ln(x))-x[0] = (ln(y)+ln(x))-ln(y)=ln(x)
だけありますから、x[0]にあとln(x)を加えれば正解になるわけです。しかしあいにくxが分からないので、代わりにx[0]を使って誤魔化します。これで第１次近似ができました。
x[1] = ln(y) + ln(x[0])
もちろん「x[0]よりx[1]の方が誤差の絶対値が小さくなる」という事を証明しなくちゃいけませんが、めんどくさいのでパス。さて、ここから数学的帰納法を使います。
n(>0)のときに
x[n]= ln(y) + ln(x[n-1])
であるとすると、誤差は
x-x[n] = (ln(y)+ln(x))-x[n] =ln(x)-ln(x[n-1])
従って、ln(x)-ln(x[n-1])をx[n]に加えたいのですが、ln(x)の代わりにln(x[n])で誤魔化して第n+1次近似を作ります。
x[n+1]= x[n]+ln(x[n])-ln(x[n-1]) = ln(y)+ ln(x[n])
（ここでもホントはx[n+1]の方がx[n]よりも正解のxに近いという事を証明しなくちゃいけません。）
　このように、誤差をどんどん修正していくように漸化式を構成する訳です。修正のやり方を変えればいろんな漸化式が得られ、ニュートン法もそのひとつです。

お礼

第１弾～第３弾までまとめてお礼を申し上げます。長いのに丁寧にありがとうございました。うれしくてちょっと泣けてきます。ちょっとまだ難しい！と思うけど、なんとなくやれば出来そうな気分ではあります。いろいろ本も見たけど、どれも良く分からなくて。その辺の難しい参考書よりもずいぶん親切でした！あとは自分でなんとかやってみます。卒論の内容も、まだ最初に書いた程度にしか教えてもらっていなくて、具体的には来週発表されるようです。いや、卒論の締め切りは１月の中旬なんであと１ヶ月もないんですがね。でも、その短い期間で、あまり多くのことは求められないのでは？という同じ研究室のこからのアドバイスもあり、あまり深く突っ込まない様にその子と協定を結びました（←みんなで渡れば恐くない方式？）。
この場を借りて、皆様、こんな質問にご回答いただき誠にありがとうございます。どこまでやれるか分かりませんが、自分で精一杯頑張ってみるつもりです。ここで、出来ないなんて言っててもしょうがないですもんね。ずいぶん参考になりました。なんか、こんな質問のために時間を割いていただいたことが申し訳ない！ありがとうございます。ぜったい、卒業しますんで！！！