２平面のなす角の求め方について

質問

２平面Π１，Π２があり、それらが交差しているとする。この場合、２平面Π１，Π２のなす角は、２平面Π１，Π２のそれぞれの法線ベクトルのなす角と一致することはよく使いますが、これはなぜですか？これの証明（もしくは理由説明）はできませんか？できれば高等数学の範囲内でお願いします。もしこのことについて書かれているサイトか何かをご存知でしたら是非御教え下さい。よろしくお願いします。

回答No.2

sanori · ベストアンサー

指摘されて気づきましたが、さっきの説明は間違えてました。
最初、三角形の合同条件から説明しようとして、それだと煩わしいので方針転換したところで、なんか頭の中がこんがらかっていたみたいです。
ごめんなさい。

じゃー、一度リセットして、最初から。

２つの平面を、平面Ａ、平面Ｂとし、それらの交線をＬと呼ぶことにします。

そして、交線Ｌに垂直な平面を任意の場所に１つ配置します。
この平面を平面Ｃと呼ぶことにします。
（つまり直線Ｌは平面Ｃの法線）

平面Ｃと交線Ｌとの交点をＰとおきます。
また、
平面Ｃと平面Ａの交線を直線Ａ’と置きます。
平面Ｃと平面Ｂの交線を直線Ｂ’と置きます。

そして、

点Ｐを通り、かつ、平面Ｃの中を通り、かつ、直線Ａ’と垂直な直線を引き、これを直線Ａ’’と置きます。

同様に、
点Ｐを通り、かつ、平面Ｃの中を通り、かつ、直線Ｂ’と垂直な直線を引き、これを直線Ｂ’’と置きます。

すると、
直線Ａ’’は、平面Ａの法線です。
なぜかというと、直線Ａ’は、平面Ａの中にあるからです。
１つの平面に対して垂直な直線の方向は、１通りしかないので、直線Ａ’’が直線Ａ’に対して垂直ということは、直線Ａ’’は平面Ａに垂直、つまり法線ということになります。

同様に、直線Ｂ’’は、平面Ｂの法線です。

直線Ａ’、Ａ’’、Ｂ’、Ｂ’’の４本は、全て、平面Ｃの中に入っています。
なぜかというと、元々、そういう定義になっているからです。

というわけで、平面Ｃという紙の中に引かれた
４本の直線Ａ’、Ａ’’、Ｂ’、Ｂ’’を見ますと、
Ａ’とＢ’が成すＸ字を、点Ｐを中心に９０度回転したものが、
Ａ’’とＢ’’が成すＸ字になっています。

・・・これで、どうでしょうか？

お礼

大変よく分かりました！ありがとうございました！

回答No.1

sanori

証明ではなく、直感的にわかりそうな解説をします。

２つの平面をＡ，Ｂと呼ぶことにします。
平面Ａ，Ｂ交わったところは直線になりますよね。

では、その直線をＬと呼ぶことにします。

さらに、直線Ｌ上の適当なところに点Ｐを決めましょう。

点Ｐを通る平面Ａの法線Ａ’を引きましょう。
当然、平面Ａと法線Ａ’は垂直です。

同様に、
点Ｐを通る平面Ｂの法線Ｂ’を引きましょう。
当然、平面Ｂと法線Ｂ’は垂直です。

次に、
点Ｐを通り、法線Ａ’と垂直で、かつ、平面Ａ上を走る直線Ａ”を引きます。

同様に、
点Ｐを通り、法線Ｂ’と垂直で、かつ、平面Ｂ上を走る直線Ｂ”を引きます。

法線Ａ’、Ｂ’と直線Ａ”、Ｂ”は、全て同じ平面内にありますよね？

ここで、直線Ｌに沿って、点Ｐから離れた遠いところに立ったとしましょう。
つまり、
法線Ａ’、Ｂ’と直線Ａ”、Ｂ”を含んだ平面に対して、正面から見ていることになります。

すると、垂線Ａ’と垂線Ｂ’がなすＸ字は、直線Ａ”と直線Ｂ”がなすＸ字を、点Ｐを中心に９０度回転していることに気づきます。
すなわち、同じ角度を保ったまま９０度回転しています。

さらに、ここで、
直線Ａ”と直線Ｂ”がなす角度は、平面Ａと平面Ｂがなす角度と同じです。
さらに、法線Ａ’と法線Ｂ’は、それぞれ、平面Ａ、Ｂの法線ベクトルと同じ方向です。

つまり
平面Ａと平面Ｂがなす角度
と
法線Ａ’と法線Ｂ’がなす角度
は同じになりました。

補足

かなり鮮やかな直感的な説明ですね。すごいです。ですけど、私にとって一つ分からない箇所があるんです。それは「法線Ａ’、Ｂ’と直線Ａ”、Ｂ”は、全て同じ平面内」という部分です。何故同一平面にあるのですか？いまいち納得できません。もちろん私の頭の問題なのですが・・・ぜひ今一度もうすこし説明をお願いします。