超関数の定義

質問

超関数の定義にはシュワルツの定義や佐藤の定義がありますが
もっと関数らしい定義はないのでしょうか？
δが意味を持ち
Σ(n=-∞～∞）δ(t-n)が意味を持ち
δの微分が出来
簡単であればいいのです
例えば関数の極限を使った定義を示していただければ幸いです

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

なんとなく、気持ちが分かるような気がしないようなするような、です。「素直」って仰るのは大体のところ、
(1)至る所で微分可能で、
(2)（測度論の意味で）ほとんど至る所で一致する関数は唯一で、
(3) フーリエ変換が収束する。
(4) そういう関数の族（線形空間）。
　それは滑らかな連続関数ってことと概ね同じのように思います。だから裏返せば、フーリエ変換が周波数→±∞で速やかに0に収束するということでしょう。
(5) さらに、そのフーリエ変換して得られる関数の族が元の族と一致して欲しい。

てことは、やっぱりガウシャンが便利じゃないかな。なにしろフーリエ変換に於ける不動点ですから。
　適当に関数fを持ってきて、これに幅の狭いガウシャンg1をconvolutionして平滑化したものに、さらに幅の広いガウシャンg2を掛け算したもの、っていう関数hを考える。そしてg1の幅を→0に、g2の幅を→∞に持っていくことによって、素直な関数の極限としての超関数の族が作れそうです。
　ここに出てきた関数のフーリエ変換をそれぞれF,G1,G2,Hとしますと、Fに幅の狭いガウシャンG2をconvolutionして平滑化したものに、さらに幅の広いガウシャンG1を掛け算したものがHになっている。だから、(1)～(5)を満たしてくれそうです。
　「フーリエ変換が周波数→±∞で速やかに0」ってのをexp(-x^2)のオーダーで押さえ込むと、扱える関数が少なくなっちゃう。だから、目一杯話を広げようとするのが超関数論という訳で、変なのまで入れなくても構わないと開き直ればそれでおしまいだと思います。

　なお、stomachmanの場合、大抵
δ(x) = if |x|<ε then 1/(2ε) else 0
で事足りてる。（ε→+0)
　微分したくなったら、勝手に
δ(x) = if |x|<ε then (1-|x|/ε)/ε else 0
に変えてしまいます。計算の都合によってくるくる定義を変えてしまう。n階微分が必要だと大変ですけどね。

回答No.1

motsuan

δ関数でいいのでしょうか？
正規分布の分散を０に近づけたものとか
ローレンチアンの半地幅を０に近づけたものとか
規格化されたsinc関数の周期（？）をあげていくとか
極限で真中付近に値（？）があって、周囲が０になるような規格化された関数を考えて極限にもっていけばいいんじゃないでしょうか？

フーリエ変換で考えると十分δ関数に近ければ、大きな値をとる部分は非常に狭い範囲に限られてこれを近似しようとすると周波数の大きな部分にその構造が反映されて最終的に極限で無限に追い出されて、逆に（無限大から見て）低い周波数は原点以外は０ということで抑えられて、みんな同じスペクトル強度になっちゃうんじゃないかと思うのですが。なんかへんなこともおこりそうな気もします。

補足

回答ありがとうございます
δをガウシアン等の極限で定義するのはよくあることですが
変な関数が入らないように
シュワルツや佐藤のようにδだけでなくすべての素直な関数を体系的に超関数に組み入れることができるような定義がほしいのです
ほとんど至る所等しい２つの関数が同一であり
フーリエの反転公式が成立するようなもの
自然界やエレクトロニクスに出てくる関数は変な関数ではないので
それを理解するツールとして使いたいのです
しかしδは便利なので素直な関数に含めたい