順列と組合せの区別

質問

順列や組合せの問題でPやCを使って計算をします。
その時、どういう場合に、Pか、Cを使うのか、イマイチ良く分かりません。例えば、

(1)15人の中から図書委員、体育委員、広報委員各１人を選ぶ方法は何通りあるか。ただし、兼任は認めないものとする。

(2)１５人の生徒の中から４人の学習係を選ぶ方法は何通りあるか。という問題には

(1)はP、(2)はCを使います。

上記のような問題なら何とか分かりますが、応用になった時、計算する際どっちか、区別する方法を教えてください。お願いします。

回答No.4

1006

その、15人を、A～Oさんとします。
（ThisIsAPenさんの言葉をお借りします）
異なるn個のものからr個とって１列に並べる→順列nPr
すなわち、Aさん、Cさん、Hさん、が（この順に）もし選ばれたなら、Aを図書委員、Cを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
また、もし、Cさん、Aさん、Hさん、がもし選ばれたなら、Cを図書委員、Aを体育委員、Hを広報委員になりますよね。
このように、選ばれた順番によって、誰が何委員になるかが変わってくるんです。だから、選んだものの並び方までかかわってくるんです。よって、ｎＰｒ。
異なるn個のものからr個とる（１列に並べない）→組み合わせnCr
すなわち、Ａ、Ｂ、Ｈ、Ｋさんが（この順に）選ばれたとします。この四人は、みんな学習委員になりますね。
でも、Ｂ、Ｈ、Ｋ、Ａさんの順番にえらばれたとしても、みんな学習委員になりますね。だから、選んだものの順番は関係ないんです。
別の見方をすると、ＡＢＨＫ，ＡＢＫＨ，ＢＡＨＫ、ＢＡＫＨ，ＫＨＢＡ，ＫＨＡＢ，ＨＫＡＢ、、、、、、というふうに、(1)の問題では、別と考えられてたものが、(2)の問題では同じ物（1通り）と考えられてしまいます。だから、ｎＰｒでは困るんです。
ｎＣｒ＝ｎＰｒ/ｒ！（自信がありませんが・・・・）ですよね。
だから、ｎＰｒから、そのかぶってる物を1とおりと考えるために、多い分を割ってやるんです。
ｎＰｒより、ｎＣｒの方が、数が小さくなってるはずです。

わかりにくかったかもしれませんが、参考になれば幸いです。

お礼

＞わかりにくかったかもしれませんが
いや、とんでもないですよ。このように説明をしただけると分かりやすいです。
ありがとうございました。