ガウス記号

質問

数学では新たな関数を導入するときに
その関数の性質として幾つかの公式を持っていることが
よくあると思います．
（例えば，ガンマ関数とかベータ関数とか）

ガウス記号
[x]=(xを超えない最大の整数）
に関してなんらかの公式を知っておられる方は
教えて頂けませぬか…？

回答No.2

oodaiko · ベストアンサー

ガウス記号ですか。適当な整数論の教科書を見ればガウス記号を使った公式がいっぱいありますよ。とりあえず手元にある「整数論：ヴィノグラードフ著,共立全書」から面白そうなものをいくつか御紹介します。公式というより定理のようなものもありますが。証明など必要でしたら skistr さんご自身でお調べ下さい。

● nを自然数、pをn以下の素数とする。n!を因数分解した時のpの指数は
　[n/p]+[n/p^2]+[n/p^3]+…
　に等しい。

●αは任意の正の実数、cは正の整数とすると次の等式が成り立つ
　[ [α]/c ]＝[α/c]

●α,β,…,γは任意の正の実数とすると次の不等式が成り立つ
　[α+β+… +γ]≧[α]+[β]+…+[γ]

●mは１より大きい整数とする。集合Ｇ_mは、因数分解した時の各素因数の指数がすべてmより小さくなるような正の整数の集合とする。（つまり x=p_1^{a}p_2^{b}…p_n^{n} と因数分解した時にa≦m,b≦m,…,n≦m となるような整数の集合）
このとき任意の正の実数Nについて次が成り立つ。
　[N]=Σ[ m√(N/x)] 　
　ただしm√()とは()の中の数のm乗根を意味する。また総和はすべてのx∈Ｇ_mについてとるものとする

●α,βは正の実数とする。αが無理数でかつ(1/α)+(1/β)=1が成り立つ時、その時に限り
　[αn]と[βm]（n,mは自然数）を使って自然数全体が重複なく表される。

その他に、メビウス関数と言う整数論で重要な関数と組み合わせると、もっと興味深い公式が現れますがとりあえずこれくらいで。

お礼

お礼申し上げます．

整数論の分野だったのですか…．
有難うございます．

今，数列
-[-iα]　α∈(0,1]，i=1,2,…,n
までの和を求めたいのですが，うまく行きません．

考える過程でしょうもない公式
-[-z-q]=z-[-q], z∈整数，q∈有理数
は作れたのですが，結局とけません．

なにかヒントありましたら，頂けませんでしょうか？
ひょっとして無理なのかなとも思っています．

回答No.1

NyaoT1980

数学の公式といえるかわからないですが、ちょっと面白いのを見つけたので参考URLを見てください。

プログラミングをやっているとガウス記号が登場することがあります。

参考URL：

http://www-aos.eps.s.u-tokyo.ac.jp/~takagi/f77-enshu/kadai/kadai06.html

お礼

ありがとうございます．

[x]=-[-x]-1
は常には成立しませんが，
こんな感じの公式って何かありませぬでしょうか？