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毛管現象に関する質問

「科学」の中カテゴリーで同じ質問をしていましたが，十分に納得できないので，質問を締め切り，物理学のカテゴリーで質問させていただきます． 半径rの毛管を水面につけ表面張力によって高さhまで毛管内に水が上がってきたとします．毛管内には球面状のメニスカスができます．この球面に作用している力はこの面を上から押す下向き圧力P0，下から押す上向き圧力P，そして円周に沿って上向きに作用する表面張力σの鉛直成分σcosθです．このときの力の釣り合い式はπr^2P0=πr^2P+2πrσcosθなのですが，P,P0に関しては球面に作用する力なのに，πr^2として毛管の断面積をかけています．次元としては全ての項がエネルギーになりますが，この点がシックリ納得できません．球面に作用しているのに平面積をかけても良いのでしょうか？気持ち悪くて夜も眠れません．

みんなの回答

  • Teleskope
  • ベストアンサー率61% (302/489)
回答No.1

　 　 >>　（大意） メニスカス面に作用している力は圧力差 Po－Pと、円周に沿った上向き表面張力σの鉛直成分σcosθです．力の釣り合い式は　πr^2(Po-P)=2πrσcosθ　なのですが，圧力は曲面に作用してるのにπr^2という平面をかけてあります．この点がシックリ納得できません． << １．思考実験 　丸いプラスチックフィルムを用意し、円周に多数の糸をつけてパラシュートを作ります。水を 1kg 入れて 糸ぜんぶをバネ秤で吊ります。フィルムがどんな形に脹らんでも 秤の表示は 1kg ですよね。　フィルムがフニャフニャでひどく伸びたとしても 秤の表示は同じですよね。 　これを、膜にかかる圧力ベクトルの分解で理解しましょう。縦成分と横成分です。 垂れ下がってる形の左半分と右半分とで、横成分は向きが反対なので打ち消されます。縦成分は； 　　　　　　　＼　　任意曲面の 横成分　_______ ＼微小面積dA 　　　　　　　　／| ＼ 　　　　　　 ／θ| 　　圧力Pは　　縦成分=Fcosθ 　　面に垂直。 　　面を押す力F=PdA 　　縦成分 = Fcosθ 　　　　　　　= PdAcosθ 　　　　　　　= P(dAの射影成分） 　　　　　　　　　　　　　↑　↑ 　　　　　　　　　　　　これが肝です。 縦成分はどこも下向きだから単純に足し算になります。つまり 　　縦成分の合計 　　　= P(面dAの射影成分 の合計) 　　　= P(任意曲面全体の底面積) 　　　= P(今の場合は管の断面積) 　ということで球面に限らず任意曲面です。（と言っても重力下の水だから自ずと限られますが。）　蛇足ながら、横成分が打ち消すとか 縦成分が単純和だというのは、水面が（ひどくひどく弱いけど）プラスチックのような膜で横方向のつながりがあって、ロープのように力を伝達する事による結果です。気体との違いですね。 なお、圧力差Po-Pを圧力Pと言っちゃってますが勘弁してください。 　余談； 実はメニスカスは天文用語なのでした。ギリシア語で　月＋育ち盛りの男児＝新月の細い三日月。液面を横から見るとこのネーミング納得するでしょう？これを書こうとレスしましたｗ 　 　

yone123
質問者

お礼

ご丁寧な解説でばっちり納得できました．ベクトルの正射影というものの使い方も始めて知りました．これでやっと枕を高くして寝られます．ありがとうございました．

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