条件付き極値

質問

教科書の問題で、「α＋β＋γ＝２πのもとで、sinα＋sinβ＋sinγの最大値を求めよ」というものがあり、答えはα,β,γがともに２π／３のとき３√３／２となるんでしょうが、その途中がわかりません。できるだけ詳しく教えてください。

回答No.5

stomachman · ベストアンサー

stomachman恒例の蛇足です。

α、β、γを直交３軸とする３次元空間において、
α+β+γ=2π
は平面をひとつ決める。この平面上に直交座標系、たとえば
x=(√3/2)(β-γ)
y=α-(β+γ)/2
を作ります。するってえと、
x=(√3/2)(β-γ)
y=2π-(β+γ)-(β+γ)/2=2π-(3/2)(β+γ）
ということになりますわな。つまり
α=(2π/3) +(2/3)y
β=(2π/3) +(1/√3)x-(1/3)y
γ=(2π/3) -(1/√3)x-(1/3)y
　このx-y平面上で
f(x,y) = sinα+sinβ+sinγ
がどんな格好になるか。これは３次元の曲面で表せるし、ExcelとかMethematicaでグラフに描く事もできますぜ。滑らかな有界閉曲面であることは自明でしょう。

回答No.4

ugoo

補足に対する回答が遅れてスミマセン。
たまにしかログインしないもんでご容赦を。

問題に対しての解答はstomachmanさんが詳しく述べられましたので理解できたと思います。
>この場合も有界閉曲線になるのでしょうか？
という事についてですが、変数が３つ、束縛条件が１つなので自由度は２。
よって、R^2→Rへの写像なので曲面といったほうが判り易いと思います。
細かい事は置いといて、
もし束縛条件α＋β＋γ＝２πが無かったら・・・と考えます。
この時は明らかに
-1≦sinα≦1
-1≦sinβ≦1
-1≦sinγ≦1
ですから、
-3≦sinα＋sinβ＋sinγ≦3
といえます。等号が成り立つかどうかは考えなくて良いです。
ここで主張したいのはsinα＋sinβ＋sinγがある定数で抑えられているという事。
すなわちsinα＋sinβ＋sinγは有界閉曲面であるといえます。
さらに連続なので最大値、最小値が存在すると分かります。
あとは候補になる点を全て調べればどこで最大値をとるかが判ります。

回答No.3

stomachman

No.2への補足に対する回答です。
∧はand（かつ）, ∨はor（または）の意味です。
∃はお分かりのようですが、念のため下記URLもご参照下さい。

> この問題でのα,β,γは、三角形の外心と各頂点を結んだ３本の線同士がなす角ということだったのですが

ご質問に書いてあれば簡単だったのにね。

参考URL：

http://oshiete1.goo.ne.jp/kotaeru.php3?q=143938

回答No.2

stomachman

で、できるだけ詳しく、っすか。
じゃugooさんの続き。

未定乗数法は宜しいんですが、
F=sinα＋sinβ＋sinγ -λ(α＋β＋γ-2π) = 0 とおいて 、連立方程式
∂F/∂α = cosα-λ=0
∂F/∂β = cosβ-λ=0
∂F/∂γ = cosγ-λ=0
を解くことで、α＋β＋γ-2π=0という制限付きで極値になる条件を求めると
cosα=cosβ=cosγ=λ
ですね。

さて、
cosα=cosθ
を満たすθの集合Θ(α)は、（Zを整数の集合として）
Θ(α)={θ| ∃k(k∈Z ∧ (θ=α+2kπ ∨ θ=-α+2kπ)}
です。だからαを固定した場合、
cosα=cosβ=cosγ
を満たすようにβ,γを選ぶということは、
β∈Θ(α)∧γ∈Θ(α)
一方
γ=2π-α-β
でなくてはならない。ですから、
(1)β=α+2kπのときには
　γ=-2α+2(1-k)π∈Θ(α)
　でなくてはならない。これが成り立つには
　(1-1)∃m(m∈Z∧α=2mπ）であるか、もしくは
　(1-2)∃m(m∈Z∧2mπ-2α=α）
　でなくてはならない。
　(1-1)の場合、sinα＋sinβ＋sinγ=0です。
　(1-2)の場合、2mπ-2α=αより
　　α=2mπ/3
　　β=2mπ/3+2kπ
　　γ=-4mπ/3+2(1-k)π
　　(1-2-1)mが3の倍数ならsinα＋sinβ＋sinγ=0です。
　　(1-2-2)mが(3n+1)の形をしていれば、
　　　sin(α)=sin(2π/3)=sin(π/3)
　　　sin(β)=sin(2π/3)=sin(π/3)
　　　sin(γ)=sin(-4π/3)=sin(π/3)
　　　だからsinα＋sinβ＋sinγ=3sin(π/3)です。
　　(1-2-3)mが(3n+2)の形をしていれば、
　　　sin(α)=sin(4π/3)=-sin(π/3)
　　　sin(β)=sin(4π/3)=-sin(π/3)
　　　sin(γ)=sin(-8π/3)=-sin(π/3)
　　　だからsinα＋sinβ＋sinγ=-3sin(π/3)です。
(2)β=-α+2kπのときには
　γ=2π-2kπ=2(1-k)π∈Θ(α)
　でなくてはならない。これが成り立つには
　∃m(m∈Z∧α=2mπ) でなくてはならないので、
　sinα＋sinβ＋sinγ=0
　です。

以上から、最大になるのは(1-2-2)の場合、つまり
∃n∃k(n∈Z ∧ k∈Z ∧
α=2(3n+1)π/3 ∧
β=2(3n+1)π/3+2kπ ∧
γ=-4(3n+1)π/3+2(1-k)π)
であって、そのとき最大値
sinα＋sinβ＋sinγ=3sin(π/3)
を持つということになるのかな。あ～しんど。

α＋β＋γ-2π=0
をご確認下され。

補足

∧、∨の記号は∩と∪みたいなものだと考えていいのでしょうか？
それと、この問題でのα,β,γは、三角形の外心と各頂点を結んだ３本の線同士がなす角ということだったのですが、その時でもα＋２kπと一般角で考える必要があるのでしょうか？

回答No.1

ugoo

ラグランジュの未定乗数法で解けます。
F=sinα＋sinβ＋sinγ -λ(α＋β＋γ-2π) = 0 とおいて
∂F/∂α = cosα = λ
∂F/∂β = cosβ = λ
∂F/∂γ = cosγ = λ
α＋β＋γ＝2π
からλを求めたものが極値になりうる点です。
このときの値が α=β=γ= 2π/3 になります。
この点で最大値になるかは別の議論が必要です。
(自分で考えてみてください。)

お礼

与えられた４つの式からは　α＝β＝γ＝arccosλ＝２π／３ですからλ＝-0.5というのは候補ですよね。でも、
ところで、このような問題にはψ（x,y,z）が有界閉曲線で、F(x,y,z)はその上で連続であるから極値をとる。この値は極大か極小か？
それと特異点も候補になり得るので考える必要があるということですか？

補足

少し文章が抜けたようです。
有界閉曲線で連続だから極値を持つという表現が良く出てきますが、この場合も有界閉曲線になるのでしょうか？
それと、特異点も候補だから…と続くはずでした。