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数学の問題教えていただきたい
行列 | 1-t t | | -t 1+t | によって c: x^2 + y^2 = 1/2 が移される図形を c'とする。 tがすべての実数を動くときc'が通過しうる点(x,y)の集合を求めよ。 という問題がわかりません。その前の問題で(1,0),(0,1),(-1,0),(0,-1)の四点を頂点とする 四角形"s" を同じ行列で移すとどのような図形になるか？ という問題は解け、また cはｓに内接するということはわかったのですが そこからどうしていいのかわかりません。 どなたか教えてください。お願いします。
- kanpani2005
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問題の行列をAとします。以下の手順で解けます。 (x,y)をAで移した点を(x',y')とすると、 (x',y')=A(x,y) なので、 (x,y)=A^(-1)(x',y') 注：A^(-1)はAの逆行列 となります。 上式によって、x,yを求め、それを元の式x^2+y^2=1/2に代入すると、x',y',tの式※ができます。 tは全ての実数を動くわけなので、※をtの2次方程式と見ると、tが実数解をもつわけなので、判別式≧0です。 この「判別式≧0」という式は、x',y'の不等式になりますが、それが、求めたい「通過しうる点」の集合になります。
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- Nao_F
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この行列を A、この行列の逆行列を A'、 c 上の点 (x, y) を A で変換して得られた点を (x', y') とすると、 (x, y)＝(x', y')A'＝・・・これを展開すると、x と y を x' と y' で表せます。 その結果を c の式に代入して整理すると、x' と y' の関係がわかるはず。 逆行列の作り方を忘れたので（笑）私はここまでです。あとは自力で計算してください。
お礼
逆行列を使えばよかったんですね。基本を忘れていました。ありがとうございました！
- proto
- ベストアンサー率47% (366/775)
点(x,y)が与えられた行列Aによって 点(x',y')に写されたとすると (x',y')=(x,y)A =((1-t)*x-t*y,t*x+(1-t)*y) (x',y')をc: x^2 + y^2 = 1/2に代入すると c': x^2+y^2=1/(2*(t^2+(1-t^2))) つまり行列Aにより cはc'に変換されます これは中心(0,0)、半径1/sqrt(2*(t^2+(1-t^2)))の円です この先は分かると思います
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