二次関数の問題

質問

(1)変数 x,y の間に　ｘ＋ｙ=4の関係があるとき、P=ｘ2＋ｙ2の最小値はアであ　る。さらにｘ≧０・ｙ≧０の条件が加われば、Ｐの最大値はイである。　
(2)二次関数Ｆ（ｘ）＝ｘ2＋（１－a）ｘ＋ｂのグラフがｘ軸から切り取る線分の長　さが１のとき、a,bの間にはｂ＝ウa2＋エaの関係があり、ｂのとり得る範囲はｂ　≧オである。
(3)Ｆ（ｘ）＝ｘ2－２ｋｘ＋ｋ2＋２について次の問に答えよ。ただしｋは定数と　する。
　１，任意のｘについてＦ（ｘ）≧６が成り立つとき、ｋの最小値はｋ＝カであ　　　　る。
　２，ｙ＝Ｆ（ｘ）のグラフがｘ軸と交わる点を（a,0),(5a,o)とするとa＝キまた　はクである。

この３問のア～クを教えてください。あっ、ｘ2などの2は二乗のことです。それと説明など加えていただけるとうれしいです。

回答No.2

newtype

「上に開いている二次関数」なかなか的確な表現です。
rnalaidさんの書き方によると
「下に開いている二次関数」というのもあるね。

さてちょっとした理論を紹介しよう。
＜曲線の凹凸の幾何学的定義＞
曲線ｙ＝f(x)が与えられていてａ≦ｘ1≦ｘ2≦ｂなる任意の定数ｘ1，ｘ2に対して、
点Ａ｛ｘ1，f(ｘ1)｝，点Ｂ｛ｘ2，f(ｘ2)｝とするとき、
（１）弧ＡＢが常に線分ＡＢの下側にあるときは曲線ｙ＝f(x)は、ａ≦ｘ≦ｂで下に凸という。
また、
（２）弧ＡＢが常に線分ＡＢの上側にあるときは曲線ｙ＝f(x)は、ａ≦ｘ≦ｂで上に凸という。

したがって「上に開いている２次関数」は（１）の定義にあっているので下に凸だ。だから「下に凸な２次関数の曲線、あるいはグラフ」と表わせばよい。

また、以下の表現があった方がいいですね。
「したがってこの場合は頂点の座標が最小値と考えられるので…」
採点官はわかってるだろうけど、以下の言葉だけだと不十分でしょ。
「そしてPに代入してP=x^2+(4-x)^2=2x^2-8x+16=2(x-2)^2+8とすると上に開いて
いる二次関数となるので最小値ア＝8（x=2のとき） 」

代入したのに「すると」なんて仮定したような言い方もおかしい。
出来れだけ採点官にわかりやすいように書かなければならない。だから必要もないのに一文字開けないこと。この事だけを気をつけても素晴らしい解答がかけると思います。
また次の最大値ですがｘ＝４のときも最大値１６です。これも忘れずに。

（２）はrnalaidさんのやり方は計算ミスの多い私にはやりたくない解法です。だから解と係数の関係を使った解法で考える。（高校２年の数学Ｂで習うはず）

Ｆ（ｘ）＝０の解をα，βとすると、解と係数の関係より、
α＋β＝ａ－１，αβ＝ｂよって、
（α－β）^2＝（α＋β）^2－４αβ＝（ａ－１）^2－４ｂ
問題文より、｜α－β｜＝１なので、
１＝（ａ－１）^2－４ｂ…（☆）
後は簡単だね。

（３）
＜１＞
まず平方完成する。するとｋが動いてもminＦ（ｘ）＝２≦６
したがって任意のｘについてＦ（ｘ）≧６は不成立。
つまり問題は不能。

＜２＞１の問題が怪しいので解答はしない。

これで終わり。次からは自分考えること。

お礼

詳しい説明、ありがとうございます。newtypeさんの説明をもう一度よく考えながら解いてみますね。