logがわかりません・・・・

質問

2^(log10(x))-1/4x^(log10(4))=0
の方程式なのですが
まず、1/4・・・のほうを右辺移動して
４をかけて4・2^(log10(x))が2^(log10(x+2))
となりますよね。そして両辺に１０を底とする対数をとるという
ところからがわかりません・・・・
最終的にlog10(x)=2 で答えが１００になります。よろしくおねがいします

回答No.3

SANOTTI

第2項目を移項すると以下の式を得る

2^(log[10]x) = (1/4)* x^(log[10]4)

両辺に4をかけると以下の式を得る

4*2^(log[10]x) = x^(log[10]4)

左辺= 2^2 * 2^(log[10]x)
= 2^(log[10]x + 2)

右辺= 4^(log[10]x)
= (2^2)^(log[10]x)
= 2^(2*log[10]x)

左辺＝右辺より　以下の式を得る

log[10]x + 2 = 2*log[10]x

log[10]x = 2

∴　x = 10^2 =100

回答No.2

stomachman

対数の性質：
B,p,q>0のとき
<1>　logB[1]=0
<2>　logB[B}=1
<3>　logB[pq] = logB[p]+logB[q]
<4>　logB[p/q] = logB[p]-logB[q]
<5>　logB[p^r] = r(logB[p])
<6>　B^logB[p] = p
これらの応用です。

2^(log10[x])-(1/4)(x^(log10[4]))=0
という方程式だから、log10(x)が定義できる範囲のxについてだけ考えろ、ということ。（ということはx>0である。）だから安心して対数を取ることができます。

どうせだから、小細工なしのやり方で。

2^(log10[x])=(1/4)(x^(log10[4]))
両辺の対数(底=10)を取ると＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（甲）

左辺=log10[2^(log10[x])]
　　=(log10[x])(log10[2]) …<5>による。

右辺=log10[(1/4)(x^(log10[4]))]
　　=log10[1/4]+log10[x^(log10[4])] …<3>による。
　　=(log10[1]-log10[4])+log10[x^(log10[4])] …<4>による。
　　=-log10[4]+log10[x^(log10[4])] …<1>による。
　　=-log10[4]+(log10[4])(log10[x]) …<5>による。
　　=(log10[4])((log10[x])-1)
さて、4=2^2　だから
log10[4]
　　= log10[2^2]
　　= 2(log10[2]) …<5>による。
これを使って、

右辺=2(log10[2])((log10[x])-1)

よって、左辺=右辺は
(log10[x])(log10[2])=2(log10[2])((log10[x])-1)
(log10[x])=2((log10[x])-1)
(log10[x])=2(log10[x])-2
2 = log10[x]

両辺を10の肩に乗せて＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝（乙）
10^2 = 10^(log10[x])
10^2 = x …<6>による。

（甲）と（乙）が対になっています。
　　対数を取って、式を整理して、指数にする。（或いは逆の順番のこともある）
この手はよく使います。

回答No.1

siegmund

ん，問題の式が違っていませんか？
答がlog10(x)=2 で x=100 というなら
2^(log10(x))-1/4x^(log10(4))=0
じゃなくて
(1)　　2^(log10(x))-(1/4)x^(log10(4))=0
じゃないんでしょうか？

(1/4) の項を右辺に移して両辺４倍すれば
左辺は 4・2^(log10(x))，すなわち 2^{log10(x)+2} (ここ間違っていますよ！)
右辺は x^(log10(4)) = x^{2 log10(2)}
つまり，
(2)　　2^{log10(x)+2} = x^{2 log10(2)}
log10(a^b) = b log10(a) に注意して，(2)の両辺の常用対数をとると
(3)　　(log10(x)+2)×log10(2) = log10(x)×2×log10(2)
で，
(4)　　log10(x)+2 = 2 log10(x)
となり，結局
(5)　　log10(x) = 2
です．

他にもやり方はありますが，shu84 さんの方針を生かしました．