x^3-x^2-6=0の解

質問

高校のテスト問題です。
x^3-x^2-6=0の解
これは解けますか。
解き方を教えてください。

回答No.4

kalgebra · ベストアンサー

高校生では無理です。（解けないことはありませんが、テストに出される問題ではありません。）
ちなみに１つの実数解と２つの虚数解を持ちます。

実数解は-{(-81+4√410)^(1/3)+(-81-4√410)^(1/3)-1}/3です。
^(1/3)は3乗根のことです。
簡潔に言うと、x=X＋1/3とおいて、出てきた3次方程式を因数分解します。
（高１で習うa^3+b^3+c^3=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)を使います。）

ここで理解するのはちょっと難しいと思います。
とにかく高校のテストで出る問題ではないので、先生の出題ミスですよ(^^)/

お礼

早速の、回答有り難うございます。
やはり出題ミスですか。
先ほど3次式の解法のホームページ見ましたが
ちょっと難しすぎました。
どうも皆さん有り難うございました。

回答No.5

toranekosan

もともとの問題は実数解を何個持つかというのが問題だったのだろうけど。それに対する答えは微分問題の範疇で答えられますね。

y=x^3-x^2-6というグラフとX軸との交点が解の値です。
y'=3x^2-2x=x(3x-2)
からx=0とx=2/3で極値を取ります。これは奇数関数でx^3が正であるため右上がりの関数となりますね。
x=0でy=-6となっているので、負の領域ではX軸との交点を持ちませんね。正の領域ではx=2/3で極値をもって関数の値は増加していきます。それでどこかで実数解を一つ持ちます。次に値を代入していきましょう。x=2で負、x=3で正なので２～３の間で解を持ちます。

さて、三次方程式を解くには以下の手順が必要です。
z=x+pとして、x=z-pなので
(z-p)^3-(z-p)^2-6=0
(z^2-2pz+p^2)(z-p)-(z^2-2pz+p^2)-6=0
z^3+(-1-3p)z^2+(3p^2+2p)z+p^3-p^2-6=0
ここでp=-1/3としてやると、
z^3-(1/3)z-1/27-3/27-6=0
z^3-(1/3)z-166/27=0
ここまでくればカルダノの公式から当てはめて
解を得る事が可能になる。x=z-pを使えばxの解が出てくる。

いやはや久々に高校数学やったなぁ～
ちなみにカルダノの公式から安易に分かる実数解は一つ
だけですよ～それが答え～だ！

1/3+(166/2/27+((166/27)^2/4-(1/27)^2))^(1/2))^(1/3)+(166/2/27-((166/27)^2/4-(1/27)^2)^(1/3)
が唯一の実数解になりえまーす。解けた人他にもいるかな？

参考URL：

http://www.math.ocha.ac.jp/yokogawa/Lecture_Notes/kazu.pdf

お礼

ご丁寧に、答えまで出していただき、有り難うございます。
理解不可能なので、諦めます。
どうも出題ミスのようなので、締め切らしていただきます。

回答No.3

masudaya

MupadLight(フリーソフト)で解いて見ると

x=- 0.6093882927 + 1.527363368 i,
- 0.6093882927 - 1.527363368 i,
2.218776585

という結果になりました.

3次方程式は解の公式がありますので,
(テキストで書くのは複雑なので下のURLを参照下さい)
それを用いると解けます.

参考URL：

http://www.imasy.or.jp/~yotti/equation.html,http://www.gifu-nct.ac.jp/sizen/okada/3eq/3eq.html

お礼

早速の、回答有り難うございます。
先ほどご指摘の3次式の解法のホームページ見ましたが
ちょっと難しすぎました。
どうも、出題ミスのようですので
理解は諦めます。

回答No.2

masashi1925

＃１です。
いきなり間違えました。
解は－６付近なんかではなく、＋２．２１付近に存在します。
申し訳ありません・・・。

回答No.1

masashi1925

普通3時方程式を解く時は、まず最初にｘに適当な値を代入してみて、０になる値を探します。
例えばｘ＝１を代入して右辺が０になれば、（ｘ－１）で割って、1次式×2次式の形にします。
あとは解の公式等で解けますよね？
ここで言う“適当な値”とは、±１～±３で、大体はこの範囲でヒットします。
でも与えられた問題をトライしますと、まず右辺が０になる数値が、整数の範囲では見付けられません。
高校レベルの数学では解けない様な気がします。
出題したのは学校の先生ですか？
問題が違っているかもしれませんので、質問してみて下さい。

ちなみに、Ｅｘｃｅｌでグラフ化してみましたが、－６付近に１つの解が存在する様です。

お礼

回答有り難うございました。
ご指摘通り、やはり出題ミスのようです。