曲線と接線の問題です

質問

「曲線S:y-ax^3 + bx と原点を通らない直線L:y=mx+nが
異なる３点A,B,C で交わっている。A,B,C におけるSの接線が再びSと交わる点をそれぞれ、A',B',C' とするとき
A',B',C' は一直線上にあることを証明せよ。
また、その直線の方程式をa,b,m,n,で表せ。」という問題です。

ヒントには、「方針として、３点A,B,C のx座標の関係式
α+β+γ=0 を用いてA'B'とA'C'の傾きが等しいことを示せばよい。 」と
書かれてあったのですが、これはどういうことでしょうか。

回答No.4

shushou

問題の解答はguiterさんのおっしゃるとおりです。
因数分解してα+β+γ=0をつかえばよいですね。

＞それと、ここでお聞きしたいのですが・・・
＞基本的にy座標がシンプルに表せることができる式にαを代入してy座標を表すという考え方でよろしいのでしょうか。

一概にそうとは言い切れないと思います。
たとえば、点AにおけるSの接線を求めるときに
点Aを（α,mα+n) とおくか（α,aα＾3+ｂα）とおくかですが
後者のほうがいいです。後者のように点Aをおいて点A'を出してみて下さい。
＞α+β+γ=0 を使う場所がわかりました。A'のx座標を求めるときに使うのですね
と書かれていますが、α+β+γ=0 なんて使わなくてもA'のx座標を
だせることが分かると思います。
そもそも　S上の点Aにおける接線とSとの交点を求める　という過程においては
y=mx+n は全く関係ないですよね。
必要ないのに関係ないものをもちこむのは話を複雑にするだけですので
点Aを（α,mα+n) とおくのは　あまりお勧めできません。
まあ、このあたりのことはたくさん問題を解いていくうちに
だんだん分かってくることです。
なお、軌跡の問題ではs-wordさんのおっしゃるとおり
ｙ座標がシンプルになるようにえらんだほうが良いです。

＞SとLを連立して、そのx座標をa,m,n,で表して、そこから始めるというのは間違いでしょうか。未知数をおかずにそのようなやり方でやってしまったのですが。未知数を置くという考えが浮かんできませんでした。

間違いではないですよ。でも
未知数でおくと２つのメリットがあるんです。
１つめ：たとえば交点のｘ座標が（3b-√a)/2になったとします。
このあとこの（3b-√a)/2という式を何度も書いたり代入したりすることに
なるでしょうが、はっきり言って面倒ですよね。それに写し間違いもしてしまう
かも知れない。ところが（3b-√a)/2をたとえばαとおいてしまえば
面倒でもないし、写し間違いもないでしょう。それに答案もすっきりするし。

２つめ：交点のｘ座標がさっきの（3b-√a)/2のように具体的に求められない
場合が結構たくさんあります。今回の問題がそうです。
SとLの交点を求めるには３次方程式を解かなければなりませんが
この場合の３次方程式は高校生には解けません。
交点が出せないから問題が解けない、などということはなくて
ちゃんと解けます。というか解けるように作られているので安心を。
でも、交点が分からなければ話が進みませんよね。
そこで、さも交点が求まったみたいな顔をして
交点のｘ座標をαと置いてしまうのです。
そうすれば話が進められる、というわけです。
αのもつ性質は解と係数の関係がすべて引き出してくれます。

というわけで交点を未知数でおくというのは
とても重要で、かつ強力な方法ですのでぜひ覚えて下さい。

お礼

お返事してくださってどうもありがとうございました。

＞たとえば、点AにおけるSの接線を求めるときに
点Aを（α,mα+n) とおくか（α,aα＾3+ｂα）とおくかですが後者のほうがいいです。後者のように点Aをおいて点A'を出してみて下さい。

点Aの接線は y=(3aα^2 + b)x - 2aα^3 + bα
になりました。SとAの接線を連立すると、
ax^3 - 3aα^2x + 2aα^3 - bα =0になりました。
ここから因数分解しようとすると、
a(x-α)^2(x+2aα- b/α)になりますね。
これでよろしいのでしょうか。どこか間違っているような・・・。

＞というわけで交点を未知数でおくというのは
とても重要で、かつ強力な方法ですのでぜひ覚えて下さい。

積分の問題で、よく交点をα,β とおいて、かいと係数の関係から、α+β, αβ の値をそれぞれ出しておいて、あとでその関係式から、α,β を消すというのは慣れているのですが、このような問題にもそのような考え方を使いたいと思います。文系の積分は２次までなので、解と係数の関係が使えるのですが、他の問題でも４次以上はでないと思うので、３次でも交点をα,β,γ とおいて、解と係数の関係から、関係式をつくってあとで消去をするというような感じでいきたいと思います。どうもありがとうございました。