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確率の問題です。
Naoki_Mの回答
長文失礼します。条件が不足しているのでこのままでは解くことができません。詳しい条件について、補足をお願いします。 とりあえず２通りの場合を考えて、それぞれ解いてみます。 ★箱の区別ができない場合 まず、＃２さんの回答と同じく、「箱の選択を変更した場合、変更前の箱は元に戻し、どれを過去選択したかは分からなくなるものと仮定」します。結論から言えば、以下のようになります。 P(変更しない,変更しない,変更しない)...1/7(14.3%) P(変更しない,変更しない,変更する)...2/7(28.6%) P(変更しない,変更する,変更しない)...3/14(21.4%) P(変更しない,変更する,変更する)...11/42(26.2%) P(変更する,変更しない,変更しない)...6/35(17.1%) P(変更する,変更しない,変更する)...29/105(27.6%) P(変更する,変更する,変更しない)...29/140(20.7%) P(変更する,変更する,変更する)...111/420(26.4%) 私は＃２さんとは別の解法で解きましたが、値はおそらく同じになっていると思います。条件付き確率（参考URL）の考え方を使って以下のように解きました。 まず、ホストが１度目に箱を開けたという条件のもとで、それぞれの箱が当たりである確率を計算します。 選んだ箱が当たりである確率は、 {(1/7)*(1/6)}/{(1/7)*(1/6)+(5/7)*(1/5)}=1/7 選ばなかった箱が当たりである確率は、それぞれの箱について、 {(1/7)*(1/5)}/{(1/7)*(1/6)+(5/7)*(1/5)}=6/35 です（後者は(1-1/7)*1/5としても求められます）。 【１回目に箱を変更しなかった場合】 ホストが箱を開ける前は、選んだ箱が当たりである確率は1/7、選ばなかった箱が当たりである確率はそれぞれ6/35ずつです。ホストが２回目に箱を開けたという条件のもとでは、 選んだ箱が当たりである確率は、 {(1/7)*(1/5)}/{(1/7)*(1/5)+(24/35)*(1/4)}=1/7 選ばなかった箱が当たりである確率は、それぞれの箱について、 {(6/35)*(1/4)}/{(1/7)*(1/5)+(24/35)*(1/4)}=3/14 です（後者は(1-1/7)*1/4としても求められます）。 【１回目に箱を変更した場合】 ホストが箱を開ける前は、選んだ箱が当たりである確率は6/35で、選ばなかった箱が当たりである確率はそれぞれ29/175ずつです。過去に選んだ箱との区別がつかないという仮定があるのでこうなります。 ホストが２回目に箱を開けたという条件のもとでは、 選んだ箱が当たりである確率は、 {(6/35)*(1/5)}/{(6/35)*(1/5)+(116/175)*(1/4)}=6/35 選ばなかった箱が当たりである確率は、それぞれの箱について、 {(29/175)*(1/4)}/{(6/35)*(1/5)+(116/175)*(1/4)}=29/140 です（後者は(1-6/35)*1/4としても求められます）。 このように、ホストが箱を選んだ後も、選んだ箱が当たりである確率は変化しません。一方、選ばなかった箱のそれぞれが当たりである確率は上がります。同じように計算して、上記の値を得ました。 ★箱の区別ができる場合 次に、「箱の選択を変更したあとも、選んだ箱と選ばなかった箱の区別はつくものと仮定」します。「ホストは、プレーヤーがその時点で選んでいない箱のうち、ハズレの箱を開ける。ただし、それぞれの箱を選ぶ確率は同じである。プレイヤーが過去に選んだことのある箱でも、その時点で別の箱を選んでいれば、ホストが開ける可能性がある。」という条件を加えます。 この条件では、「ホストの開ける箱によって、確率に影響が出てくる」という質問者さんの考え方で合っています。考えなければいけない場合がたくさんあって複雑です。解き方は分かるのですが、解くのに時間がかかるので、考え方のみ解説します。計算には条件付き確率の考え方（参考URL）を使います。長くなるので数式は省略します。 それぞれの箱にA,B,C,D,E,F,Gという名前をつけます。それぞれの箱が当たりである確率を、以下のように表すことにします。 P()=(1/7,1/7,1/7,1/7,1/7,1/7,1/7) これは、それぞれの箱が当たりである確率が1/7ずつであるという意味です。 プレイヤーがAの箱を選択し、ホストがGの箱を開けたという条件のもとで、それぞれの箱が当たりである確率を以下のように表すことにします。 P(A選,G開)=(1/7,6/35,6/35,6/35,6/35,6/35,0) 最初Aの箱を選び、ホストがGの箱を開けたあと、Bの箱に変更した場合は次のようになります。 P(A選,G開,B選,A開)=(0,1/6,5/24,5/24,5/24,5/24,0) P(A選,G開,B選,C開)=(25/139,24/139,0,30/139,30/139,30/139,0) P(A選,G開,B選,D開)=(25/139,24/139,30/139,0,30/139,30/139,0) P(A選,G開,B選,E開)=(25/139,24/139,30/139,30/139,0,30/139,0) P(A選,G開,B選,F開)=(25/139,24/139,30/139,30/139,30/139,0,0) この時点では、どの箱を選べば最終的に当たる確率が一番高いかわかりません。したがって、場合分けして当たる確率を計算してから、その期待値を計算する必要があります。 例えば、(A選,G開,B選,F開)のあとにCを選んだ場合、考えられるのは次の４通りです。 P(A選,G開,B選,F開,C選,A開)=(0,48/213,45/213,60/213,60/213,0,0) P(A選,G開,B選,F開,C選,B開)=(10/43,0,9/43,12/43,12/43,0,0) P(A選,G開,B選,F開,C選,D開)=(50/203,48/203,45/203,0,60/203,0,0) P(A選,G開,B選,F開,C選,E開)=(50/203,48/203,45/203,60/203,0,0,0) したがって、(A選,G開,B選,F開)の時点では、Cを選んで当たる確率は、 (1/4)*(60/213)+(1/4)*(12/43)+(1/4)*(60/203)+(1/4)*(60/203) となります。 このように場合分けして期待値を計算していけば、どの戦略が最適か求められます。対称性に気をつけて計算すれば、場合分けの種類を減らすことができます。
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補足
回答ありがとうございます。質問が悪くてすいませんでした。選択した箱は区別できるものとします。 やはり、期待値まで求めなければいけないんですね。箱の選択を全て変えた場合、ホストの明ける箱によって確率の数値が大きく変わってくるので悩んでいました。 問題が上に書いた文書のみだったのでホストの行動はプレーヤーに対して最も有効な行動を取るなどといった条件を考えるべきか迷っていました。やはり、ホストがハズレの箱を開ける確率を全て等しいものとして考えるんですね。 Naokiさんの回答を参考にさらに考えてみます。