範囲

質問

質問して3日待ったのですが質問しても回答がないのでもう一度お願いします
関数f(x)=(x＾2)-2ax＋2aの0≦x≦1における最大値をM,最小値をmとするとき2M-mの最小値を求める

f(x)=(x＾2)-2ax＋2a
から
f(x)=（(x-a)＾2)-a＾2＋2aと変形はできますが

a<1/2
a≧1/2
a<0
0≦a<1
a≧1のときの範囲はどうやって考えるのかわかりません
どこからこのような場合わけがでるのですか？

回答No.3

kony0 · ベストアンサー

下に凸（x^2の係数が正）の２次関数において、xの範囲（定義域）を絞ったときの形は大きく次の５種類に分けられます。
「＼」・・・頂点が定義域の外or境界線（右側）にある場合
「し」・・・頂点が定義域の中（右寄り）にある場合
「Ｕ」・・・頂点が定義域の中（真ん中）にある場合
「Ｊ」・・・頂点が定義域の中（左寄り）にある場合
「／」・・・頂点が定義域の外or境界線（左側）にある場合

※「Ｕ」を「し」or「Ｊ」どちらかの特殊なパターンと考えて４つに分けても構いません。

それぞれの場合において、最大値・最小値はどこでとるかを考えると
「＼」・・・最大値：範囲の左端、最小値：範囲の右端
「し」・・・最大値：範囲の左端、最小値：頂点
「Ｕ」・・・最大値：範囲の両端、最小値：頂点
「Ｊ」・・・最大値：範囲の右端、最小値：頂点
「／」・・・最大値：範囲の右端、最小値：範囲の左端
となります。

まずは２次関数のグラフを適当な範囲でぶったぎって、上記のことを体得することです。

ご提示の解答（＝疑問点）は、
「最大値について考えると」a＜1/2, a≧1/2の場合わけが必要、
「最小値について考えると」a＜0, 0≦a＜1, a≧1の場合分けが必要、
と考えたあと、２つの場合わけをMIXさせています。

私は、まず上記の５パターンに場合分けすることを考えます。
「＼」・・・a≧1の場合
「し」・・・1/2＜a＜1の場合
「Ｕ」・・・a＝1/2の場合
「Ｊ」・・・0＜a＜1/2の場合
「／」・・・a≦0の場合
ということで、もはや場合わけできました。

最大・最小値は、
「＼」・・・Ｍ：x=0の場合、ｍ：x=1の場合
「し」・・・Ｍ：x=0の場合、ｍ：x=aの場合
「Ｕ」・・・Ｍ：x=0の場合（x=1の場合でも可）、ｍ：x=aの場合
「Ｊ」・・・Ｍ：x=1の場合、ｍ：x=aの場合
「／」・・・Ｍ：x=1の場合、ｍ：x=0の場合
になるのも、上で解説したとおりです。

まず５パターンに分けてからよく考えると、
最大値の場合は２パターン（「＼・し・Ｕ」と「Ｊ・／」）、
最小値の場合は３パターン（「＼」と「し・Ｕ・Ｊ」と「／」）
にまとめることができることもわかります。
（最大値、最小値のどちらか一方だけを考える問題では、まず頭の中（計算用紙の上）で５パターンを考えたのち、２パターンor３パターンに統合させて解答を作成することが可能）

逆に、最大値の２パターン、最小値の３パターンの場合わけから、これらをMIXさせる方法は、変に難しく考えさせてるような気がします。

この問題を解ける人は、有意識、無意識にかかわらず、上記５パターンをまず思い浮かべてから解いているんじゃないかと思います。

回答No.2

ritumushi

＞どこからこのような場合分けがでるのでか。（グラフで考えてみて下さい。）
　下記のときのグラフを書いてみて下さい。（書いてみれば、自然に場合分けが納得できると思います。）

　　(1)　a≧1、のときのグラフ
　　(2)　1/2≦a<1、のときのグラフ
　　(3)　0≦a<1/2、のときのグラフ
　　(4)　a<0の、ときのグラフ

(1)のときの、Ｍは、２a(x=0のとき）、ｍは、１（ｘ＝１のとき）
(2)のときは、Ｍは、２a(x=0のとき）、ｍは、-a＾2＋2a（ｘ＝aのとき）
(3)のときは、・・・
(4)のときは、・・・

不親切な回答ですいません。

回答No.1

pyon1956

場合わけの理由について回答します。
これは下に凸な２次間数ですので、０≦ｘ≦１においてもしその頂点がこの範囲にあれば、頂点から遠いほうの端が最大値になります。このとき最小値は頂点です。さて１と０の真ん中が１/２なので頂点がここより右にあればｘ＝０のときが最大値になります。逆にここより左に頂点があればｘ＝１で最大です。（絵を描いてみて理解してください）
頂点が０≦ｘ≦１の範囲に無ければ範囲の両端が最大・最小になりますがどっちの頂点が最大か、というのはやはり頂点が1より右か０より左かでかわります。
以上からx=aのときが頂点であることを考え合わすと、
ａ＜０、０≦ａ＜１/２、１/２≦ａ＜１、1≦ａの4種類にわければいいことがわかるのです。