Maclaurin級数

質問

arcsin(x)
arctan(x)
のMaclaurin級数を求めたいと思い、
てはじめに
（１＋ｘ＾２）＾α
のマクローリン展開を求めようと思いました。
でも式がまとまらず、息詰まってしまいました。
方針として間違っているのでしょうか？

別のアタックの仕方なども含めて教えて下さい。

回答No.3

siegmund

siegmund です．

> 1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
> からつかえてしまいました。
> 右辺の分母を(1+x^2)にすると、分子は
> 1+x^2-x^2-x^4+x^4+x^6-x^6-x^8+...　となりますよね

そりゃ，分母を同じにしたら等式なんだから分子も同じになりますよ．
そうじゃなくて，brogie さんが言われているのは
(※)　　d(arctan(x))/dx = 1-x^2+x^4-x^6+....
の両辺を x で積分しなさい(0 から x まで)，ということです．
左辺の積分は arctan(x) - arctan(0) = arctan(x) になり
(arctan(0) = 0 ですから)，
右辺の積分は x-x^3+x^5-x^7/7+... になります．

> (1+y)^k = Σ_{n=0}^∞ {k(k-1)(k-2)・・・(k-n+1) / n!} y^n
> のyにx^2を代入して、等式は成り立つのでしょうか？
> 次数の違うものを代入するのはどうもしっくりこないのですが

ん？
等式なんだから，何代入したってＯＫですよ．
(1+y)^2 = 1 + 2y + y^2 を使って
(1+x^2)^2 = 1 + 2x^2 + x^4 とするでしょ．
同じことです．

お礼

brogieさんのところで分からなかったのは、
1/(1+x^2)=1-x^2+x^4-x^6+....
の等式自体があっているのかどうかです。
それと、右辺の積分は x-x^3/3+x^5/5-x^7/7+...とはちがいますか？

d(x^2)/dx=2x
d(x^4)/dx=4x^3 　
のような時はただ代入する訳にもいかないのですが・・