線路の問題

質問

無限に長い平行な2つの棒が目の前に延びているとします。
その直線は遠くになるにつれて、感覚は狭まっています。
線路は直線なので、いつかは交わる？けど、実際は交わらない。おかしい！？

この謎を解こうと努力しました。
まず、１つの直線についてですが、目の前に無限に長い直線が伸びている（地面に）とき、長さが無限であっても、
有限にしか見えないことを発見しました。

そこから全く分かりません。
「もしかして直線は見る方向によっては直線に見えない？」なんて考えたりもしました。
この矛盾を証明してくれませんか？

回答No.1

liar_adan · ベストアンサー

その通り。直線は見る方向によっては直線に見えません。

線路ではなく、まっすぐな壁が目の前にあると想像してみてください。
壁の上下は平行です。
しかし、右手を見ると、はるかかなたの壁は小さくなって一点にまとまります。
左手も同じです。
つまり、壁の左右は、小さく見えます。
平行であるはずの壁は、極端にいうと木の葉を倒したような形に見えます。

人間の眼は、正しい形を見るのではなく、
それが網膜に映ったところを見るので、
そこで視覚の不思議が起こります。

線路が一点に収束するのにはもうひとつ理由があります。
線路が無限に長いとします。
そして、遠くの物は小さく見えます。
線路のおなじ10メートルの部分を見ても、
2倍遠いところの10メートルは、見かけ上は1/2の長さに見えます。
どんどん遠くなると、どんどん短くなっていきます。

線路は無限の長さである。いくらでも遠くにある。
ところが、遠くの線路は無限に小さく見えるようになる。
このとき、無限と無限がキャンセルしあって、
一点で消失するように見えるのです。

回答No.6

kiriburi

線路を見たときに、２本のレールは共通の１点に向かってまっすぐ延びているが、その点には（無限に近づくけれど）到達しないということです。

無限に長いのに、なぜ到達できないか？という疑問があるかと思います。
線路に沿って等間隔に電柱が立っているとします。
ある電柱とその次の電柱の間隔は、近いところでは広く、遠いところでは狭くなり、収束する点の辺りでは僅かの区間に無数の電柱があるように見えるでしょう。

回答No.5

ryo99

＞まず、１つの直線についてですが、目の前に無限に長い直線が伸びている（地面に）とき、長さが無限であっても、
＞有限にしか見えないことを発見しました。

ここにヒントがあると思います。

直線がある１点に向かって延びていく。
有限に見えますが、無限に近付いて行くだけです。
肉眼には限界があるので、１点に交わっているように見えますが、交わりません。
同じように、２本の直線は１点で交わっているように見えますが、
無限に近付いて行くだけです。

２本の線路の間を線路幅の線(面)として考えると、
その線は限りなく細くなり、１点に無限に近付きます。
つまり、２本の線路は無限に近付いて行くが、交わらないということです。

用語の用い方が大雑把ですが、ご容赦下さい。

回答No.4

MayWind

無限に続く平行線が、交わるか交わらないかは、数学的に証明できない問題じゃなかったかな。
永遠に交わらない二本の線を平行と定義していると思ったけど・・・。

まっ、永遠の彼方では交わっている状態と交わっていない状態が確率存在しているのかもね（笑

回答No.3

ranx

ピンホールカメラというものがあります。
箱に開いた小さな穴を通して入ってきた光をスクリーンにあてることによって外界の光景を映し出すもので、
カメラの原理の説明に使われたりします。

ここで、理想的なピンホールカメラを考えてみましょう。
無限に広がる平面状のスクリーンと大きさゼロの（しかし開いている）穴を持つピンホールカメラです。
これに平行なニ直線を写したらどうなるでしょうか。
結果は、目で見るのと同様に、ある一点で交わろうとして交わらない二本の半直線（あるいは線分）として
写るはずです。ということは、基本的には目の構造が原因であるわけではないと考えてもよさそうに
思えます。（直線のまっすぐであるという性質は、スクリーン上でも保たれています。）

外界の直線上の一点は、スクリーン上の一点に対応します。外界の無限に伸びる半直上の点は、
スクリーン上の有限の線分上の点と一対一に対応するのです。これは無限集合の重要な性質です。

外界の直線とスクリーン上の直線との関係は、通常の三次元幾何学で考えてもよいのですが、
「射影幾何学」と呼ばれるやや特殊な幾何学として研究されています。そちらの方面を勉強されれば、
面白い発見があるかもしれません。

以上、「証明」にはなりませんが、アドバイスとして。

参考URL：

http://www.toshi-photo.com/Tutorial/Tutorial_01.html

回答No.2

noname#9248

人間の目は1億2000万画素位だそうです（モノクロ）
というわけで遠いところはつぶれてしまいます

地球の丸さも考慮に入れる必要があります