数式ソフトMathCADお使いの方。初心者です。２次方程式の解求め方は？

質問

数式ソフトMathCAD初心者です。
係数a,b,cの２次方程式の解ｘをルートを使った通常の表記での求め方をお教え下さい。

回答No.2

m234023b · ベストアンサー

mathcadは使ってなくmathematicaを使っているのですが、２次方程式の解の求め方は
Solve[a x^2+b x+c==0 ,x]
ではないかと思います。

お礼

m234023bさん、有り難うございます。mathematicaではこのように解くのですね。確認致しました。MathCADはちょっと違うようですが、参考になりました。

回答No.1

mina28

なにかのお役にたてば幸いです。
ＨＰの一部をひっぱって、載せます。
＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠＠
（定義）
集合Fが体であるとは、F≠φであって、Fには足し算（＋）と掛け算が与えられていて次の９つの公理を満たすものを言う。

1.a+(b+c)=(a+b)+c
2.Fの中には０が存在してa+0=0+a=aを満たす。
3.a+b=b+a
4.Fの中にはa+x=0を満たすxが存在してこのxを-aと書く。
5.a(bc)=(ab)c
6.ab=ba
a(b+c)=ab+ac
7.Fの中には1が存在してa1=1a=aを満たす。
8.Fの0でない任意の元aはax=1を満たすxをFの中にもつ。このｘをa‐と書く。（ただし∀a,b,c∈F）

実は体にはいろいろな定義の仕方がありますが、上の定義の仕方が最も純粋でしょう。すぐにわかることですが実数や複素数（高校でやりますよね）それから有理数などは全て体です。もちろん体の例はこれだけではありません。数学の中には実に多くの体が現れます。
ここでアーベルはこの体を用いて代数方程式を代数的に解くということを翻訳しようとします。一般的な定義に入る前に我々も考えてみましょう。
よく知っている2次方程式で考えてみましょう。まずは全ての係数が有理数であることを仮定しましょう。最初に２次方程式が実数解を持つ場合ですが、有理数全体をQで表します。（これは定義から体です）
そして判別式（これはどうでしょう？中学ではやるのかな？）をDで書くことにしましょう。（係数が有理数なのでDも有理数） 2次方程式の根の公式にはが現れますがこれは有理数とは限りません。
そこで数学の自由さを存分に発揮して、Qとを含む新しい体を作ってやりましょう。それをQ（）と表して、 Qにを添加した体と呼ぶことにしませんか。 Q（）は =0のときはQと一致しているのでこのときは体です。
≠0のときはその逆数を取れば となり1/Dは方程式の係数を有理数に限定してあるのでやはり有理数です。よって∈Q（）となりかつと掛けて1になりますから、 Q（）の0でない元はすべて体の定義の９を満たします。（１～８を満たすことは自明でしょう）このことからQ（）はQに を添加した「体」と言ってもよいでしょう。
さてよくよく考えてみると2次方程式の全ての根はQ（）に含まれていて、Q⊂Q （）なる包含関係が成り立つこともわかります。（もちろん今は2次方程式が実数解を持つ場合ですが） Q（）のことをQの拡大体と言います。（QをQ（）の部分体と言います）
ここまでくると次の疑問が浮かんでくるかもしれません。
「2次方程式が実数解を持つのならば、初めからQではなく実数全体を持ってくればいいじゃないか」
なるほど、確かに初めから実数全体（これをRで書きましょう）で考えていれば実数解を持つ以上全ての2次方程式の根はRの中にあるのはあたりまえです。結論から言ってしまえば2次方程式が虚数解を持つ場合にQではなくRを持ってくる必要があるのです。
さあ、それでは2次方程式が虚数解を持つ場合を考えてみましょう。その場合判別式の値は負になりますので、2乗して-１になる数を作る必要があるわけですが、その辺の詳しい事情は高校の教科書に譲るとしましょう。
さて、虚数というのは複素数の中にあるので複素数全体をCで書きましょう。定義からこれもやはり体になるのです。しかもRと比べて比較にならないほど多くの数を含んでいます。つまりR⊂Cが成り立つことになります。
またCの任意の元はa+biと言う顔をしています。（ただしa,b∈R、i（アイ）は虚数単位）ここでRにiを添加したR（i）を考えてみましょう。これは体になることは自明でしょう。そしてR⊂R（i）が成り立ちます。
ところでR（i）は体なので積について閉じていますからｂｉ∈Ｒ（ｉ）であって、和についても閉じています。よってa+ｂｉ∈Ｒ（ｉ）となります。
すなわちa,ｂは任意の実数ですからＲ（ｉ）の元は全てa+ｂｉという顔をしていることがわかります。（ここの所は多少厳密でないかもしれません）つまりＲ（ｉ）＝Ｃがわかりました。
このことから2次方程式が虚数解を持つ場合、R⊂Ｒ（ｉ）＝Ｃなる体の拡大を用意すればあらゆる2次方程式（係数も何でもよい）の全ての根（実根でも虚根でも）はＲ（ｉ）＝Ｃに含まれることがわかります。
実はＣは代数的閉体と呼ばれ、数の中では最も広い体系をもち、２次といわず、任意の次数の全ての方程式の根がＣに含まれてしまうのです。
しかしながら今は方程式を代数的に、つまり４則演算と冪を何回も取ることで解くことを話題としているので、Ｑ⊂Ｑ（）の拡大へ戻って進めていきましょう。
さて、少し窮屈に感じるところは2次方程式の係数を有理数に制限しているところです。この条件を取り去るにはどうしたらよいでしょうか？任意係数の2次方程式を用意して、その係数を降冪の順にa,b,cとします。（つまりaはｘの2乗の係数、ｂはｘの係数、ｃは定数項）
ここで、次の体を作ってみたらどうでしょう。つまりQ（a，b，c，）
a,b,cは有理数とは限らないのでQ（a，b，c，）は Q（）の拡大体となり 2次方程式の根の公式と言うのはその係数とで構成されているので、任意係数の2次方程式の根は全てQ（a，b，c，）に属していることになります。
従って2次方程式の場合はQ（）⊂Q（a，b，c，）なる体の拡大を作ってやれば全ての根が拡大しきった体Q（a，b，c，）の中に入る事がわかりました。
3次方程式や、4次方程式の場合もQにその係数と判別式にルートを取ったものを添加した体を作ってやれば全ての根がその体の中に入ることがわかります。そうすると、方程式が代数的に解けるということはQにその係数を全部添加した体（これをその方程式の定義体という）に累乗根を次々と添加して体を拡大していくことによって全ての根を含む体を作ることができると言うことができます。
逆にいうと方程式が代数的に解けないとは全ての根を含むような定義体の拡大体が作れないということです。

参考URL：

http://onohiro.hp.infoseek.co.jp/amanojack2/kisokaku.htm

お礼

早速回答頂き有り難うございます。詳しい説明を記載頂き、恐縮です。
回答何度も読み返してみました。
残念ながら、上記の説明を読んでもソフトをどう操作したらよいのか具体的に今一歩分かりかねます。
参考URLは２次方程式の一般解の公式の説明でした。
以上参考に一度考えてみます。