三角形の面積です。

質問

３点O（０，０）、P（a、ｂ）、Q（ｃ、ｄ）の作る
三角形の面積をa,b,c,dのみで表せ。
簡単だと思ったのですが、点の位置がどこにあるかで
答えがいろいろ出てきます。
どんなとき方がいいのでしょうか。

回答No.2

tkm · ベストアンサー

内積使ってもいいですか？

ベクトルα＝（a,b）、β＝（c,d）を定義しますと

α・β ＝ ac + bd ＝ |α||β| cosθ
　　　　　　　ac + bd
∴cosθ＝-----------　　　　　　　　　　　　　　　　（1）
　　　　　　　　|α||β|

（sinθ）^2 + （cosθ）^2　より

sinθ ＝ √{1 - (ac + bd / |α||β|)^2}　　　　　　　　　（2）

面積S ＝ 1/2 * |α||β| * sinθ　より

S ＝ 1/2 * |α||β| * √{1 - (ac + bd / |α||β|)^2}
　＝ 1/2 * √{|α|^2 * |β|^2 - (ac + bd)^2}　　　　　　（3）

ここで

|α|^2 ＝ a^2 + b^2
|β|^2 ＝ c^2 + d^2

より中括弧{　}の中を計算しますと（計算してみてください）

S ＝ 1/2 * √(ad-bc)^2
　＝ 1/2 * (ad-bc)

となります。面積は負にはなりませんから(ad-bc)に絶対値をつけて下の式が出ます

ひょっとしたら腑に落ちないかもしれませんので補足しときます

ad - bc < 0 の時は　|ad - bc| ＝ bc - ad になるわけですがなぜ符合が変わるかといいますと（1）式を見てください
（1）式を三角公式を使って（2）式に変形しているわけですがその際に
θが何象限にいるかでcosとsinの符号の関係が変わってきます。例えばθが弟1象限（ベクトルαとβの間の各が90度以内）にいれば
cos、sinともに正になりますし、弟2象限にいればsinは正、cosは負になります
このようなことが発生するので符合が変わる場合が出てくるのです
しかし絶対値の値は変わりませんので面積は必ず正なので絶対値記号をつけると公式が得られます

もうひとつ…
（3）式で中括弧内を計算しましたがその際に
(ad)^2 - 2abcd + (bc)^2
という項が出てきたと思います
これは
(ad-bc)^2　と　(bc-ad)^2
の2通りに因数分解できます
あとは分かりますね？こっちの方が分かりやすいかも＾＾；

いろいろとあやしいところはあるかと思いますがこういうとき方なら高校数学で解けますね

（おまけ）
外積使うと一瞬で解けます。ここからでてくるSはベクトルです
面積ベクトルS ＝ α × β ＝ ad * k - bc * k

ここでkはｚ軸方向の単位ベクトルです。xy平面では紙の向こう側へ行くベクトルです

面積ベクトルのノルム（大きさ、絶対値）はαとβがつくる平行四辺形の面積ですので、三角形の面積はその半分になります。よって

三角形の面積 ＝ 1/2 * |S| ＝1/2 * |√(ad-bc)^2 | ＝ 1/2 * |ad-bc|

お礼

ありがとうございます。
ベクトルというものを利用するということが分かりました。
これで自分でも理解できそうです。

回答No.1

tkm

これは有名な公式

　 　　| a*d-b*c |
S = -----------
　　　　　　2

があります
P,Qがどこにあるかで答えが代わってくると思いますが
絶対値の概念を導入することによってうまくひとつにまとめられます
ちょっと時間がなく説明適当ですいません＾＾；

お礼

ありがとうございます。
いろいろやってみると確かに絶対値をつけるとこうなっていました。
これをどう導くのかどなたか教えて頂けますか。
いきなり公式によりというのも編ですよね。