確率の問題？

質問

分子進化関係の書物を読んでいて理解できない点がありますので教えて下さい。
【Chapman-Kolmogorovの等式】て何ですか？確率に関係したことだと思うですが・・・。

後、もう1つ上記の内容とは全く異なることなんですが教えて頂きたい点があります。
q=1-(3/4)(1-e^(-8αt))　(d=2×3αt，p=1-qのとき)をどのように整理したらd=-(3/4)log(1-(4/3)p)になるのかを教えて頂けないでしょうか？

回答No.2

Umada · ベストアンサー

Chapman-Kolmogorovの等式は確率過程に関するお話ですね。
以下の回答はRossanaさんのご回答と重なる部分も多々あり恐縮ですが、ちょうどよいページ[1]を見つけたこともあり紹介かたがた回答させてください。

確率過程については既に聞かれたことがあるかと思いますが、簡単に触れておきたいと思います。
ある系を考えてその系の状態を確率的に表現するとします。例えばある生物はA～Dの4つの形態を取り、ある確率で形態を変える(形態間での遷移が起こる)とします。
時刻tにおいて形態Aである確率をX_A(t)、Bである確率をX_B(t)、などとするとこの生物の状態は
X_A(t)
X_B(t)
X_C(t)
X_D(t)
の4つの確率変数によって記述されることになります。またA～Dも変数と考えれば、新たに
X(Ω,t)
なる確率変数に書き換えて系の状態を表現できます。Ωはこの場合A～Dのいずれかを取る変数です。
例えばΩをCに指定すればX(Ω,t)はX(C,t)となって、「Cをとる確率の時間発展」を表すことになります。また時刻をt=τなどと指定すればX(Ω,t)はX(Ω,τ)となって、時刻τにおいて系がA～Dの状態をとる確率をそれぞれ与える関数になります。
このように時間をパラメータとして持つ確率変数列を「確率過程」と呼びます。時間tは連続時間で扱うこともできますが複雑になるので、離散時間で扱うこともあります。例えば上記の生物の形態間遷移は夜中の12時きっかりにだけ起きるのだとすると、時間tを経過日数nに置き換えて扱うことができます。
系に履歴がない(n+1日目の状態はn日目の状態によってのみ決定し、n-1日目以前の状態には影響されない)とすると、ある行列P(n)をもって
X(Ω,n+1) = P(n)・X(Ω,n)
と表すことができます。ここにX(Ω,n)はベクトル(上記の生物の場合は4成分)であることに留意ください。P(n)は状態遷移行列や遷移確率行列などと呼ばれます。
特にP(n)が時間によって変化しないなら単純にPと表記して
X(Ω,n+1) = P・X(Ω,n)
と書き換えることができます。漸化式の行列版とでも思ってください。

さて本題のChapman-Kolmogorovの等式ですが、参考ページ[3]の講義ノート「9.マルコフ過程2」に分かりやすい説明があるのでダウンロードしてご覧になると分かりやすいと思います。
上記の生物の形態の話に当てはめると下記のようなことになります。1日目に形態Aだったものが30日目に形態Dになっている確率P_AD(1→30)を考えます。遷移の確率は過去の履歴に依存しないと仮定します。
中間の任意の日(例えば13回の遷移を経た日=14日目とします)で
Aである確率P_AA(1→14)
Bである確率P_AB(1→14)
Cである確率P_AC(1→14)
Dである確率P_AD(1→14)
となりますが、それからさらに16回の遷移を経た30日目に最終的にDになっている確率はそれぞれに、14日目から30日目までの16回の遷移でA→Dになる確率、B→Dになる確率、C→Dになる確率、D→Dになる確率を掛けて足せばよく
P_AD(1→30) = P_AA(1→14)×P_AD(14→30) + P_AB(1→14)×P_BD(14→30) + P_AC(1→14)×P_CD(14→30) + P_AD(1→14)×P_DD(14→30)
となります。これがChapman-Kolmogorovの等式の意味するところです。
状態遷移行列が時間的に一定不変であれば単に遷移を経た回数(経過日数)だけで取扱うことができ、P_AD(1→30)をP_AD(29)などと書き改めて
P_AD(29) = P_AA(13)×P_AD(16) + P_AB(13)×P_BD(16) + P_AC(13)×P_CD(16) + P_AD(13)×P_DD(16)
となります。

q = 1-(3/4)(1-e^(-8αt))の変形ですが、こちらは一つ一つ丁寧にやれば難しくありません。e^(-8αt)を早く裸にするのがコツです。
q-1 = -(3/4)(1-e^(-8αt))
-(4/3)(q-1) = 1-e^(-8αt)
-1-(4/3)(q-1) = -e^(-8αt)
1+(4/3)(q-1) = e^(-8αt)
ln{1+(4/3)(q-1)} = -8αt
ln{1+(4/3)(q-1)} = -(4/3)d
-(3/4) ln{1+(4/3)(q-1)} = d
-(3/4) ln{1-(4/3)p} = d

eを底とする対数、すなわち自然対数をlnと表記しています。(Plastandrenaさんがlogと表記した部分)　Aを実数、Bを正の実数としてA = ln Bならば、B = e^Aということです。

[1] 確率過程(講義ノート)　http://bach.ip.is.saga-u.ac.jp/LECTURES/stcprc-j.html

参考URL：

http://bach.ip.is.saga-u.ac.jp/LECTURES/stcprc-j.html

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ございませんでした。最近メールを確認するの忘れていましたので.....。
回答はとても参考になりました。1つのことがわからなくなると先に進めなくなる性格なのでこれやっと先に進むことができます。本当にありがとうございました。

回答No.1

Rossana

＞【Chapman-Kolmogorovの等式】て何ですか？
自分はそれほどよく知っていないので，参考程度にお願いします．分子進化関係の書物については全然知りません．ですが，情報理論という学問の分野でこんなものがあります．

定常な推移確率P_(ij)を持った単純マルコフ過程を考えます．
（注；ここでは，行列を；を使って改行する事を表現します．）
確率マトリックスP=[P_(00),…;P_(10),…；P_(20),…；…]
Σ[j=0 to ∞]=1 (P_(ij)≧0)

時刻tのときX_t=iの状態をとり時刻t+2でjとなる確率は，Σ[ν=0 to ∞]P_(iν)P_(νj)で，これを
P_(ij)(2)=Σ[ν=0 to ∞]P_(iν)P_(νj)
と書く事にします．特に，P_(ij)をP_(ij)(1)と書くと
P_(ij)(n+1)=Σ[ν=0 to ∞]P_(iν)(n)P_(νj)
が成立します．ただし，この左辺は，あるときiであった場合，n+1回の推移でjになる確率で，定常だから
P_(ij)(n)=P(X_(t+n)=j|X_t=i)
です．一般に
P_(ij)(m+n)=Σ[ν=0 to ∞]P_(iν)(m)P_(νj)(n)
であり，これをマトリックス形式で書けば
P(m+n)=P(m)P(n)
となり，これを【Chapman-Kolmogorovの等式】とか【Kolmogorov-Chapmanの方程式】と言います．

＞後、もう1つ上記の内容とは全く異なることなんです
＞が教えて頂きたい点があります。
＞q=1-(3/4)(1-e^(-8αt))　(d=2×3αt，p=1-qのとき)＞をどのように整理したらd=-(3/4)log(1-(4/3)p)にな＞るのかを教えて頂けないでしょうか？
d=2×3αt=-2×(3/8)(-8αt)=-(3/4)log{e^(-8αt)}
(∵x=log(e^x))
ここで
q=1-(3/4)(1-e^(-8αt))
⇔(3/4)(1-e^(-8αt))=p (∵p=1-q)
⇔(3/4)-(3/4)e^(-8αt))=p
⇔(3/4)e^(-8αt))=(3/4)-p
⇔e^(-8αt)=1-(4/3)p
これを最初のdの式に代入して
d=-(3/4)log{e^(-8αt)}=-(3/4)log{1-(4/3)p}
となりました．

お礼

お礼が遅くなりまして申し訳ございませんでした。最近メールを確認するの忘れていましたので.....。
回答はとても参考になりました。1つのことがわからなくなると先に進めなくなる性格なのでこれやっと先に進むことができます。本当にありがとうございました。