数学A 円に内接する四角形

質問

四角形ABCDは円に内接し、さらにAB//CDとなる。このときAD=BCとなることを示せ。
この問題を解いてください。m(_ _)m

回答No.4

staratras · ベストアンサー

BCを延長して、その延長線上に点Eを取る。
AB//CD だから∠ABC=∠DCE（同位角）
したがって∠BCD＝180度-∠DCE=180度-∠ABC　…（１）
四角形ABCDは円に内接するから∠ABC+∠CDA=180度
したがって∠CDA=180度-∠ABC　…（２）
（１）（２）から∠BCD＝∠CDA
AB//CD だから四角形ABCDは底角が等しい台形すなわち等脚台形である。
ゆえにAD=BC

回答No.6

staratras

さらに別解です。（方針だけ）
四角形ABCDの対角線2本を引き交点をEとする。
下の図で黒と白の◯をつけた角どうしは同じ弧の円周角で、また黒と白の△をつけた角どうしは平行線の錯角でそれぞれ等しいので、結果として4つの角は全て等しく、三角形EABと三角形ECDは二等辺三角形。
したがって三角形EADと三角形EBCにおいて
EA=EB、ED=EC、∠AED=∠BEC（対頂角）
2辺とその間の角（二辺挟角）が等しいので
三角形EADと三角形EBCは合同となりAD=BC

回答No.5

staratras

別解です。四角形ABCDに対角線２本を引く。
AB//CDだから∠BAC=∠ACD（錯角）
∠BACは円弧BCの円周角であり∠ACDは円弧ADの円周角。
同一の円周上で円周角同士が等しいから、弧BC=弧AD　
したがって弦の長さも等しく、BC=AD

回答No.3

Higurashi777

四角形ABCDにおいて、点Aと点C、点Bと点Dを結ぶ対角線をそれぞれ補助線として引き、線分ACと線分BDの交点を点Pとします。
で、線分ABを底辺とした三角形ABCと三角形ABDを考えると、円周角の定理から角ACB＝角ADBですよね。
同様に辺CDを底辺として三角形ACDと三角形BCDで見ると、円周角の定理から角CAD=角CBDですよね。

更に、AB//CDですから、角ABD=角CDB。底辺をBCとした三角形BCAとBCDで見ると円周角の定理から角BAC＝角BDC。
すなわち三角形PABと三角形PCDはそれぞれ辺PA=PB、PC＝PD二等辺三角形となります。
となると、三角形PADと三角形PBCは合同の三角形となります。
なので、対応する辺であるADとBCの長さは同一、ということになります。

以上、ご参考まで。

回答No.2

maskoto

訂正

∠ABD＝∠BDCでありこれをθとおく

回答No.1

maskoto

円の半径をRとする
平行線の錯角は等しいから
∠A＝BD＝∠BDCでありこれをθとおく
正弦定理から
AD/sinθ＝2R
BC/sinθ＝2R
よって
AD/sinθ＝BC/sinθ
AD＝BC