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極限について。
oodaikoの回答
- oodaiko
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補足質問にお答えします。 >『関数f(x)が連続 ⇔ 右極限=左極限』である!! 『関数f(x)が連続 ⇒ 右極限=左極限』は正しいですが逆は言えません。 それは次の補足質問に対する回答のように「左右の極限は等しくてもf(a)の値はそれと等しくない」 ものがあるからです。 最初の回答に書いたようにf(x)は連続というのは 「左右の極限が等しく、かつf(a)の値もそれと等しい」 場合です。(下の例のようなグラフを考えてみればわかると思います) >「左右の極限は等しくてもf(a)の値はそれと等しくない」の具体例 グラフを書いてみれば簡単にわかります。ついでですから 左右の極限が等しくない例と一緒に考えてみましょう。aは原点とします。 1. f(x)=x-1 (x≦0) f(x)=x+1 (x>0) 右極限と左極限が異なり、かつf(a)は左極限と等しくなる例です。 2. f(x)=x-1 (x<0) f(x)= 0 (x=0) f(x)=x+1 (x>0) 右極限と左極限が異なり、かつf(a)はどちらの極限とも等しくない例です。 3. f(x)= 0 (x=0) f(x)=x+1 (x≠0) 右極限と左極限は一致し、かつf(a)はどちらの極限とも等しくない例です。 4. f(x)=x 右極限と左極限は一致し、かつf(a)もその極限とも等しくなる例です。 (連続というのはこの場合です。) ついでですからGstavさんの回答に対する補足質問にも回答しておきましょう。 >どこでx→-0を用いてるんですか?別にx→0でなくてもよいことにはなりませんか? f(x)のaにおける極限と言うのはxをaに近付けていった時に近付く値であって、a以外でのxの値 というわけではありません。 f(x)=x/|x|のグラフは下のようになります。(x=0では定義されない) この場合f(x)はx<0で「定数」ですが、それでも「関数」であることに変わりはありません。 従って「関数」としての極限を考えると lim_{x→ -0}f(x) =lim_{x→ -0} -1 = -1 ということになります この場合はたまたま関数の値が定数なのでx → -0としなくても x → -0とした場合の極限値 と等しくなっているだけのことです。このグラフを45°傾けたもの;すなわち f(x)=x-1 (x<0) f(x)=x+1 (x>0) のグラフを考えてみればわかると思います。 y │ ○━━━━━ │ │ │ ─────┼───── x │ │ │ ━━━━━○ │
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