ミニロトの3等保証予想

質問

ミニロトで1～25までの数字を5つ選択し、すべての組み合わせから少なくとも4つ以上が含まれる、最少な組み合わせを教えてください。
ネットにあるツールでは20ぐらいまでしか選択できないので、よろしくお願いします。

回答No.1

uechan2525

まず、5つの数字をすべて選んだ場合の組み合わせは、25個の数字から5つを選ぶため、25C5（25個から5個の数字を選ぶ方法の数）で、

25C5 = 25!\/(5!20!) = 53,130通りの組み合わせがあります。

次に、4つ以上が含まれる最少な組み合わせを作るために、まずは4つの数字が含まれる組み合わせを考えて、それに5つ目の数字を加えることで5つの数字を含む組み合わせを作ります。

4つの数字が含まれる組み合わせは、25個の数字から4つを選ぶ方法の数と、残りの数字のうち1つを選ぶ方法の数をかけたもので求められます。すなわち、

25C4 × 21C1 = 12,650 × 21 = 265,650

このうち、4つの数字が同じ場合があることに注意してください。この場合は残りの数字から1つを選べばよいので、21通りあります。したがって、同じ数字が4つ含まれる組み合わせを除いた場合の組み合わせ数は、

265,650 - 21 = 265,629

これに5つ目の数字を加える場合は、25通りの数字の中から4つの数字が選ばれた組み合わせすべてに対して、残りの21通りの数字から1つずつ数字を足し合わせればよいので、

25C4 × 21 = 12,650 × 21 = 265,650

となります。

よって、すべての組み合わせから少なくとも4つ以上が含まれる最少な組み合わせは、265,629通りの組み合わせとなります。

補足

ミニロト(1～31)の全通りが、31x30x29x28x27÷(1x2x3x4x5)＝169,911です。