（3）の解き方を教えて下さい。

質問

（3）の解き方を教えて下さい。

回答No.4

muturajcp

(1)
MはBCの中点だから
↑AM=(1/2)(↑AB+↑AC)…(1.1)
NはAMの中点だから
↑AN=(1/2)↑AM
↓これに(1.1)を代入すると
↑AN=(1/4)(↑AB+↑AC)…(1.2)
PはAC上にあるから
↑AP=t↑AC…(1.3)
となる実数yがある
PはBNの延長上にあるから
↑BP=x↑BN…(1.4)
となる実数xがある
↓↑BP=↑AP-↑AB
↓↑BN=↑AN-↑ABだから
↑AP-↑AB=x(↑AN-↑AB)
↓両辺に↑ABを加えると
↑AP=x↑AN+(1-x)↑AB
↓これに(1.2)を代入すると
↑AP=(x/4)(↑AB+↑AC)+(1-x)↑AB
↑AP={1-(3x/4)}↑AB+(x/4)↑AC
↓これと(1.3)から
t↑AC={1-(3x/4)}↑AB+(x/4)↑AC
↓↑AB,↑ACは線形独立だから
↓↑ABの係数が等しいから
0=1-(3x/4)
3x/4=1
x=4/3…(1.5)
↑ACの係数が等しいから
t=x/4
↓これに(1.5)を代入すると
t=1/3
↓これを(1.3)に代入すると
↑AP=(1/3)↑AC
|AP|=(1/3)|AC|
3|AP|=|AC|
↓|AC|=|AP|+|PC|だから
3|AP|=|AP|+|PC|
2|AP|=|PC|
|AP|/|PC|=1/2
∴
|AP|:|PC|=1:2

(2)
(1.5)を(1.4)に代入すると
↑BP=(4/3)↑BN
|BP|=(4/3)|BN|
3|BP|=4|BN|
↓|BP|=|BN|+|NP|だから
3(|BN|+|NP|)=4|BN|
3|NP|=|BN|
|BN|=3|NP|
|BN|/|NP|=3
∴
|BN|:|NP|=3:1

(3)
△ANBの底辺をANとした時の高さをhとすると
△ANBの面積は
|△ANB|=|AN|h/2
△BMNの面積は
|△BMN|=|MN|h/2
NはAMの中点だから
|AN|=|MN|だから
|△ANB|=|△BMN|…(3.1)

△BMNの底辺をBMとした時の高さをHとすると
△BMNの面積は
|△BMN|=|BM|H/2
△CNMの面積は
|△CNM|=|CM|H/2
MはBCの中点だから
|BM|=|CM|だから
|△BMN|=|△CNM|
↓これと(3.1)から
|△ANB|=|△CNM|…(3.2)

△ANBの底辺をBNとした時の高さをh1とすると
△ANBの面積は
|△ANB|=|BN|h1/2
↓(2)から|BN|:|NP|=3:1→|BN|=3|NP|だから
|△ANB|=3|NP|h1/2…(3.3)
△ANPの面積は
|△ANP|=|NP|h1/2
↓これを(3.3)に代入すると
|△ANB|=3|△ANP|…(3.4)

△ANPの底辺をAPとした時の高さをh2とすると
△ANPの面積は
|△ANP|=|AP|h2/2…(3.5)
△CPNの面積は
|△CPN|=|PC|h2/2
↓(1)から|AP|:|PC|=1:2→|PC|=2|AP|だから
|△CPN|=|AP|h2
↓これを(3.5)に代入すると
|△ANP|=|△CPN|/2
↓これを(3.4)に代入すると
|△ANB|=3|△CPN|/2
2|△ANB|/3=|△CPN|
↓これを(3.2)に加えると
5|△ANB|/3=|△CNM|+|△CPN|
↓|四角形PNMC|=|△CNM|+|△CPN|だから
5|△ANB|/3=|四角形PNMC|
↓両辺に3/(5|四角形PNMC|)をかけると
|△ANB|/|四角形PNMC|=3/5
∴
|△ANB|:|四角形PNMC|=3:5

回答No.3

f272

#2です。
(1)(2)に対する回答しか書いていないですよ。読んだうえで補足しているのですか？

回答No.2

f272

BM=(1/2)BC
BN=(1/2)BA+(1/2)BM=(1/2)BA+(1/4)BC....(a)
PはAC上にあるのでBP=(1-t)BA+tBCとあらわされるが，BPはBNの定数倍でもある。したがって(a)を1/2+1/4=3/4で割って(4/3)BN=BP=(2/3)BA+(1/3)BCを得る。つまりAP:PC=1:2
また(4/3)BN=BPだからBN:NP=3:1

補足

前問から分からないので前問から解き方を教えて下さい。

回答No.1

gamma1854

3) ΔABC=S とします。前問の結果を使います。
ΔANB=ΔABM*(1/2)=(1/4)S,
四角形PNMC
=ΔAMC - ΔANP
=(1/2)S - ΔABP*(1/4)
=(1/2)S - (1/3)S*(1/4)
=(5/12)S.
よって、ΔANB : 四角形PNMC = 3 : 5.

補足

前問がヒントになっているのは分かるのですが前問から解りません。