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3次関数について。
次のたけちゃんさんの解答を解説していただけると幸いです。 http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=22343
- zasx1098
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> 発散とはどういう意味でしょうか? 有限の値に近づくとき収束するといいます。収束しないときは発散するといいます。f’(x)はー∞に発散するというのはf’(x)の値がどんな有限の値よりも小さくなることを言います。 x軸と交差しないということは,必ず正の値になるということですから,「どんな有限の値よりも小さくなる」ことは不可能です。
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- f272
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> 負から正に符合変化する根拠として、不十分だからといって、解答に無限大を使う理由がわかりません http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=22343 では f'(x)がx≦-1で増加かつf'(-1)>0 をまず言いました。y=f'(x)のグラフを考えてください。このグラフではx=-1のとき正の位置にあります。x≦-1で増加なのだから,x=-1からx軸の負の方向にグラフをたどっていくと,だんだん値が小さくなっていきます。 このとき正から負に符号変化するでしょうか? 一般的に考えれば,ずっと正のままかもしれませんし,どこかで負になるかもしれません。しかしx→ー∞でf’(x)→ー∞であれば必ずどこかで負になります。なぜなら,このグラフは連続ですからx軸と交差しなければf’(x)はー∞に発散できないからです。
補足
なぜ、x軸と交差しなければf’(x)はー∞に発散できないのでしょうか?教えていただけると幸いです。発散とはどういう意味でしょうか?教えていただけると幸いです。
- f272
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> x→ー∞で、f’(x)→ー∞となるのは、なぜ、明らかなのでしょうか? #8で「f’(x)は3次関数であって3次の係数が正」と言っています。 そうするとf'(x)はどんな関数になりますか?例えばf'(x)=x^3です。このグラフの形が分かりますか?紙に書いてください。そうすれば「x→ー∞で、f’(x)→ー∞となる」のは明らかでしょう。 他の3次関数であっても3次の係数が正であればf'(x)=x^3を横に広げたり縦に広げたり平行にずらしたりするだけです。
補足
わかりました。では、質問を変えます。 なぜ、3次関数をいう上で、∞を解答の中に使っているのでしょうか?負から正に符合変化する根拠として、不十分だからといって、解答に無限大を使う理由がわかりません。教えていただけると幸いです。
- f272
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> 結局たけちゃんさんは、まとめると、何が言いたかったのでしょうか? 質問者は,自分が何を質問しているのかを理解せよ,ということじゃないでしょうか。
補足
一つ前のお礼コメントを見ていただけないでしょうか?
- f272
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> ちなみになのですが、f’(x)は、単調増加になるのでしょうか? #3で, f'(x)が常に0以上である⇔f(x)は単調増加 と書いたはずだが,見ていないのか? > それもグラフの一例として示していただけると幸いです。 http://www3.rocketbbs.com/603/bbs.cgi?id=aoki&mode=res&resto=22343 の中で 実例として,y=2^xは,「x≦-1で増加かつx=-1のとき正」ですが, 関数値は常に正であり,符号変化はしません. と書かれているのを見ていないのか?y=2^xのグラフを描けないのですか?
お礼
なぜ、一つ前のf272様の、回答で、x→ー∞で、f’(x)→ー∞となるのは、なぜ、明らかなのでしょうか?教えていただけると幸いです。
補足
結局たけちゃんさんは、まとめると、何が言いたかったのでしょうか?教えていただけると幸いです。
- f272
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> なぜ、x→ー∞で、f’(x)→ー∞を宣言しなくても良いのでしょうか? ここではf’(x)は3次関数であって3次の係数が正です。そうすると「x→ー∞で、f’(x)→ー∞」であることは明らかですから,わざわざ書かなくてもわかるでしょ,ということです。
補足
一つ下のお礼コメントを見ていただけないでしょうか?すみません。
- f272
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簡単なことしか書いていないのに,すべてに納得できないのは,使われている用語の意味が分かっていないからです。しっかりと教科書で確認してから,もう一度考えてください。
お礼
ちなみになのですが、f’(x)は、単調増加になるのでしょうか?一つ前の質問です。グラフの説明をしてくれた、もう一つの場合です。意味不明でしたら教えていただけると幸いです。常に0以上の場合です。それもグラフの一例として示していただけると幸いです。
補足
なぜ、x→ー∞で、f’(x)→ー∞を宣言しなくても良いのでしょうか?教えていただけると幸いです。
- f272
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> この図では、x=ー1、88付近で、f’(x)=0になるようには見えません。あと、f(x)はそこで極小値をとるようには見えません。 一体なにを見ているのでしょう?図に追加したように,誰が見てもそのように見えるはずです。
補足
グラフの説明は感謝いたします。次は、定数でない整式については,x→-∞のとき,その値は必ず発散し, 「x<-1で単調増加かつx<-1で常に正」となることはあり得ないので, f(x)やf'(x)が整式である前提で考えれば, ことさら「x→-∞のときf'(x)→-∞」を宣言しなくても 解答として認められる可能性があるということです. という文章の解説をお願いできないでしょうか? 教えていただけると幸いです。
- f272
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> なぜ、x<ー1で、極小値をとるのでしょうか?教えていただけると幸いです。 f'(x)が常には0以上でない⇔f'(x)は負から正に符号が変化する⇔f(x)は極小値がある と書いた通りであって,f(x)に極小値があるというのは言い換えるとf'(x)が負から正に符号が変化するということです。そういう状況ならf(x)に極小値があるのは当然です。 > その時の、x<ー1が、極小値になる時の図を書いていただけないでしょうか? 「その時」というのがどういうときのことを言っているのか定かではないが,例えば添付図の通り。x=-1.88付近でf'(x)=0となり,f(x)はそこで極小となっています。ついでに言えばx=0.35付近で極大,x=1.53付近で極小になっています。
補足
この図では、x=ー1、88付近で、f’(x)=0になるようには見えません。あと、f(x)はそこで極小値をとるようには見えません。詳しく教えていただけると幸いです。
- f272
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f'(x)が連続かつx<-1で単調増加で,かつf'(-1)>0 を前提とすれば,x<-1で f'(x)が常に0以上である⇔f(x)は単調増加 f'(x)が常には0以上でない⇔f'(x)は負から正に符号が変化する⇔f(x)は極小値がある ということです。高校生のときに習うはずですが...
お礼
その時の、x<ー1が、極小値になる時の図を書いていただけないでしょうか?
補足
なぜ、x<ー1で、極小値をとるのでしょうか?教えていただけると幸いです。
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