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lim(極限)と∑(和)の可換性について。

limと∑が交換できるのはどのような場合でしょうか？(1) 下記のページも読んだのですが、よく分かりませんでした。 https://detail.chiebukuro.yahoo.co.jp/qa/question_detail/q10183378495 特にこのページの最後の回答 『f_n(x)はn≦x<n+1のとき1、他は0をとる関数としましょう。 f_n(x)→0(x→∞)だから右辺は0、しかし x≧0ならΣfn(x)=1だから左辺は1です。』 の『Σfn(x)=1』の部分も分かりません。(2) 証明などが載っている分かりやすいウェブページの紹介でも結構です。(3) (1), (2), (3)のいずれか一つでも良いので、どなたか分かる方がいましたら 教えてください。よろしくお願いいたします。

  • da23
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  • muturajcp
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回答No.1

lim_{x→∞}Σ_{n=1～∞}f_n(x)?=?Σ_{n=1～∞}lim_{x→∞}f_n(x) (2) f_n(x)はn≦x<n+1のとき1,他は0 f_n(x)→0(x→∞)だから右辺は0,しかし どんなに大きなx>0に対しても xの整数部を int(x)=n とすると n≦x<n+1 となるから f_n(x)=1 となる 整数nがあるから Σ_{n=1～∞}f_n(x)=1 (1) limとΣが交換できる場合は F_n(x)=Σ_{k=1～n}f_k(x) が 一様収束する場合です 一様収束とは あるaに対して 任意のε>0に対して, ある自然数n_0が存在して n>n_0となる 任意の自然数nと 任意のxに対して |F_n(x)-a|<ε となる場合です

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