計算の順が一意になるような規則が整備されないのは？

質問

算数とか中高の数学とか現代数学とかどのレベルの議論であるかに関係なしに、です

過去に、9を答えに想定した6÷2(2+1)という問題について巷に話題になったことがありますね。

議論を辿るなかで思ったのが、2(1+2)のような数は「単なるかけ算の"記号の省略"」と見るのにも関わらず 2/(2+1)のような、「分数という割り算記号÷の省略された数」は小学校から一貫して「分子を分母で割った"結果"」を表すことにしているのはアンバランスではないかということです。

極例になりますが「n=4における2Σ[k=1..n-1]kをΣ[k=1..n-1]6Σ[k=1..n-1](k^2)で割った数3×4÷(4－1)4(4+1)を求めよ」という問題は一体どう対処するのでしょう？ 総和の意味と照らし合わせて3×4÷(3×4×5)として計算すればよいと解釈できるか見ることを狙いとした問題として想定しましたが、問題中で3×4÷(4－1)4(4+1)として帰着された式自体は小学校の範囲の式ですよね。

しかしだからといって2(2+1)を"省略"と見るのと同様な小学生ルールを適用して3×(4÷3)×4×5とすべき道理はあるでしょうか？ かけ算記号の省略に関する特有の小学生ルールが6÷２(2+1)を始めとする以上のような式に対して複数解釈の可能性を与えてしまうわけです。

したがって今回のような状況を引き起こす要因の改善策として 「公的に提示された」2(2+1)のような数に対する解釈の規則は分数に対する解釈の一貫性に合わせて「かけ算記号が省略された部分については,優先して計算を行う」として（例外を認めないという意味で原則ではない）、これを明文化、普及させるべきではないでしょうか。
そうすることで括弧は、分数内の分母や分子に出てくるものも含め、その計算処理の仕方において文字式や方程式の文字と完全に対応します。

ちなみに、「公的に提示された」式とは、採点者の立場としては板書の問題、学校内の考査や入試の問題などを言います。 解答者の立場としても、メモ書きとして途中式を書くような場面はともかく、 途中式も採点対象として見るような性質の国公立大学の二次試験で答案用紙に記述する式などを想定しています。

私が提案した以外にも一意になるような規則の決め方もあると思うのですが、
とにかく、なぜそのような規則を再整備し学習指導要領に反映しようという機運すら高まらないのでしょうかね？

回答No.2

f272 · ベストアンサー

> 2(1+2)のような数は「単なるかけ算の"記号の省略"」と見る

たしかにこの表記は掛け算記号の省略ではありますが，同時に掛け算をした結果を表しています。もっと簡単な表記つまり6という表記があるので，2(1+2)のままにしておくことはあまりないでしょうが...

> 2/(2+1)のような、「分数という割り算記号÷の省略された数」

これは通常なら分子分母を縦に並べる分数のことを言いたいのですよね。
どこに割り算記号÷が省略されているのでしょうか？

> 小学校から一貫して「分子を分母で割った"結果"」を表すことにしている

掛け算の場合と同じだとしか思えませんが...
たとえば
6×(1+2)=6*(1+2)=6・(1+2)=6(1+2)=18　　掛け算記号は表記がいくつかあるし省略することもある
6÷(1+2)=6/(1+2)=2　　　割り算記号は省略しない

> 「n=4における2Σ[k=1..n-1]kをΣ[k=1..n-1]6Σ[k=1..n-1](k^2)で割った数3×4÷(4－1)4(4+1)を求めよ」

これは，問題が無茶苦茶ですが，あなたの言いたいことは3×4÷(4－1)4(4+1)が3×4を(4－1)4(4+1)で割った値とはっきりと示されている場合のことですよね。
これは3×4÷(4－1)4(4+1)を好意的に解釈して3×4÷((4－1)4(4+1))と判断するのでしょう。問題文が悪いのであってちゃんと書きなさいと批判されるだけです。

> 問題中で3×4÷(4－1)4(4+1)として帰着された式自体は小学校の範囲の式ですよね。

小学校では演算記号を省略することは教えないはずですが...まあ，中学生の範囲の式ですよね，と思って読み進めます。

> かけ算記号の省略に関する特有の小学生ルールが6÷２(2+1)を始めとする以上のような式に対して複数解釈の可能性を与えてしまうわけです。

これは２(2+1)の部分が何となく一塊に見えるから，それをあたかもカッコでくくってあるように解釈するというルールを勝手に作っているからおかしくなるのですよね。「かけ算記号が省略された部分については,優先して計算を行う」などというルールを普及させるよりも，優先させるときはカッコを使うというすでにあるルールを徹底させる方が簡単ですし，首尾一貫しています。ルールを追加する必要がないのに，追加するのは混乱するだけでしょう。
だから，たとえばa2b÷abなんていうのも，ちゃんとa2b÷(ab)と書けばよいのです。そんなにカッコを使うのが嫌なのでしょうか？

お礼

遅まきながら回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。
＞割り算記号÷が省略されているのでしょうか？
https://shizuoka.repo.nii.ac.jp/?action=pages_view_main&active_action=repository_view_main_item_detail&item_id=113&item_no=1&page_id=13&block_id=21
こちらのpdf論文に
〈「かけ算記号が省略された部分については,優先 して計算を行 う」・・・★
ことについて,き ちん と指導 している教科書は一社 もない。 もちろん,中2の 「式 と計算」でも同様である。
類似のタイプの式 として,A+BC,A× BC
がある。 これ らについて,か け算記号 ×を省略せずにかいた ときは,
A＋B× C,A× B× C
となるが,こ のように括弧を省略 してかいた としても,計算結果に違いはない。 したがって,☆について,特に指導の必要性を感じなかったといえるかもしれない。
★の性質は,割 り算記号÷の省略についてもいえる。たとえば,次 のような場合である。
A÷B/C=A÷ (B÷ C)〉
とあります。
------
逆に2(1+2)を分数と同様、先にこの二項の演算結果を表す（分数にあやかって仮に組数と名付ける）
そういうことにすれば
２×（1＋２）と２（1＋２）のような表記の違いは完全に意味の上でも区別されることになります。
この規則のもとでもし掛け算記号を省略せずに2(1×２)と同様の意味を表したいなら、特に前から除算の演算子がかかっている場合には、
（２×（１×２））としなければならないということが演繹できます。
このように表記と意味の対応関係が一意になるうえ、分数のような値の結果の意味で表したいときは2（１＋２）と掛け算を省略出来るので、利便性のうえでも優れた規則だと思うのです。
この規則ならば貴方の提示したa2b÷(ab)も規則によりa2b÷abと同値になります。

優先させるときはカッコを使うというすでにあるルールを徹底させるのも簡単で、首尾一貫してるというお考えも一理あります。
（とにかく、積み重ねの教科の代表といっても過言でない算数、数学間で規則により橋渡しがうまくいかなくなってることは良い状況とは言えません。）

回答No.4

f272

> A÷B/C=A÷ (B÷ C)
これは元論文をみると「/」はスラッシュではなくて「B/C」は横棒の分数になっている。表記法が問題になっているのだから，こういうのはちゃんと書かないといけません。
で，本題に戻って，こういうのは「割 り算記号÷の省略」ではありません。そもそも割り算記号÷は省略できまません。割り算を実行して分数にしただけですよね。

> ２×（1＋２）と２（1＋２）のような表記の違いは完全に意味の上でも区別されることになります。

わざわざ組数などという概念を作って，意味を区別するメリットなど何もありません。２×（1＋２）と２（1＋２）は全く同じ意味です。だからこそ=で結べるのですよ。区別したいのは，「かけ算記号が省略された部分については,優先 して計算を行 う」という規則を作りたい人だけでしょう。

> このように表記と意味の対応関係が一意になるうえ

無理に意味を分けているので，特別な規則が必要になるのです。

> 分数のような値の結果の意味で表したいときは2（１＋２）と掛け算を省略出来るので

カッコを使うほうがどれほど簡単なことかわかりませんか？規則を作るコストは膨大です。たとえ日本の文部省がそういう規則を作ってもそれだけでは世界は動きません。
そもそも6÷2(2+1)を素直に(機械的に)解釈すれば6/2*(2+1)にしかならないのです。ところが2(2+1)の部分が一塊に見えるのでそれを優先して6/(2*(2+1))と解釈しなければならないという思い込みができているのです。中学数学教育の関係者はそういう思い込みにとらわれています。熊倉氏もその1人ですね。

> 利便性のうえでも優れた規則だと思うのです。

「かけ算記号が省略された部分については,優先 して計算を行 」いたい人に取っては利便性は高いでしょうが，そうでない人にとっては無意味で有害な規則です。

> （とにかく、積み重ねの教科の代表といっても過言でない算数、数学間で規則により橋渡しがうまくいかなくなってることは良い状況とは言えません。）

そんな状況ではありません。
掛け算の記号が省略できることを学んだ中学数学で足りないのは，掛け算の記号が省略したときに割り算が混在している式は式の評価順序が意図通りに解釈されない危険があるのでちゃんとカッコを使って優先順位をはっきりさせるように書きましょうということを強調することです。
このカテゴリでもカッコを使わずに式をかいて，意味不明な式にしている人は数多くいます。

お礼

＞表記法が問題になっているのだから，こういうのはちゃんと書かないといけません。
こればかりはパソコン上「/」でしか分数を表現できないと思うので、これを横棒による表記の代用だと思っていただければと思います。

>こういうのは「割 り算記号÷の省略」ではありません。そもそも割り算記号÷は省略できまません。割り算を実行して分数にしただけですよね。

で、2(1+2)のような数を、かけ算を実行にして'組数'にした値とするように取り決めるは分数のそれと何が違うのでしょうか？

そもそも、2（１＋２）であれabであれ、それ単体であるか、前と後ろの演算子の双方とも加算か減算の記号でない限り、このような書き方は不正なのですよね。
さらに小学生は「かけ算を省略できる」という事項は習っていないので
2（１＋２）という表現すら無条件で不正ということになるということですよね。

コストのことや後半最後部の状況の指摘については全面的に同意いたします。

回答No.3

178-tall

>計算の順が一意になるような規則が整備されないのは？

算術ツールによる「慣用表記」は、「スプレッド・シート方式」へ統一されつつあるように見受けます。
　(入力順にしか勘定できぬ「電卓」は化石化途上？）

うっかり「受験算術」サイトなどを覗くと混乱させられますけど…。
　　　↓　参考 URL / 単項式の全て…

>５：単項式の除法
>単項式の乗法を学習…
>では、早速例を見てみます。
　例１
　4x^3y^5 ÷ 2x^2y^3
　= 2x^(3-2)y^(5-3)
　= 2xy^2・・・（答）

「スプレッド・シート方式」だと、
　4*x^3*y^5/2*x^2*y^3
　= 2x^3y^5*x^2*y^3
　= 2x^5y^5*y^3
　= 2x^5y^8 …（答）
となりそうです。

参考URL：

https://juken-mikata.net/how-to/mathematics/monomial.html/#link5

お礼

ありがとうございます。
算術ツールにおける指示の仕方はそれがプログラムであるという性質上、
規則に従わなければ意図しない値を出すというところがあるので、失敗のうちに自ずと規則を学習させられる、習って覚えよという感がありますね。

回答No.1

178-tall

>過去に、9を答えに想定した6÷2(2+1)という問題について巷に話題になったことがありますね。

　　↓ 参考 URL / ６÷２（１＋２）＝１ or 9 まとめ
その「マジレス」にいわく、
>　６÷２（１＋２）
>　＝６÷２（３） →（１+２）を計算する。
>　＝６÷６　　 　→　２（３）つまり２×３を計算する。
>　＝１

ん？

EXCEL に =6/2*(1+2) をやらせてみると、答えが 9 。

括弧内先行、
　　6/2*(2+1) = 6/2*3
のあと、左→右へ順繰り
　　= 3*3 = 9
と勘定している模様。

「マジレス」が勝手に 2*3 を先行させてるだけ、ですネ。
https://togetter.com/li/793433

参考URL：

https://togetter.com/li/793433

お礼

回答ありがとうございました。

補足

回答ありがとうございます。

逆に2(1+2)を分数と同様、先にこの二項の演算結果を表す（分数にあやかって仮に組数と名付ける）
そういうことにすれば
２×（1＋２）と２（1＋２）のような表記の違いは完全に意味の上でも区別されることになります。
この規則のもとでもし掛け算記号を省略せずに2(1×２)と同様の意味を表したいなら、特に前から除算の演算子がかかっている場合には、
（２×（１×２））としなければならないということが演繹できます。
このように表記と意味の対応関係が一意になるうえ、分数のような値の結果の意味で表したいときは2（１＋２）と掛け算を省略出来るので、利便性のうえでも優れた規則だと思うのです。