形状測定（点群）のCAD図面化

質問

図面の無い治具の断面形状を図面化しています。
2次元形状の測定データより、直線・円弧の組み合わせCAD図面を作成するプログラムを自作しています。
直線・円弧の作成は、参考書などを元に、最小自乗法を利用しできたのですが、円弧と直線の繫ぎ目に段差ができてしまい、困っています。
円弧の点群（x,y）から、最小自乗法で中心点・径を求める際、設定した直線（y＝ax+b）に接する円を求める方法は無いでしょうか？

近傍の直線
y = c*x + d 　　　　　　　　　　　-?
に接する　円の方程式
x^2 ＋ y^2 + a*x + b*y + c = 0　　　　-?
を　近辺にある点群（x,y）より求めたい。

円の方程式を求めるだけなら、
?式の２乗をa,b,cについて偏微分して求めることができる（最小自乗法）

回答No.2

noname#230359

私も似たような事にチャレンジしたことがありますが、うまくいきませんでした。
１つ質問です。
x^2 ＋ y^2 + a*x + b*y + c = 0　
この式でcがある程度大きい数の場合直線とみなしているのでしょうか？
私はそうしていました。

最小二乗法の式に以下の2つの条件を付け加えてよいところを探すというやり方でした。
?つなぎの点の曲線(直線)１の座標（ｘ１、ｙ１）と曲線２（x2、y2)が等しい。

?つなぎの点の微分値が等しい
　　（スムーズにつながるということは傾きが等しいということ。）

上記??の条件に合致し、最小二乗法の回答からあまり遠くない所を探すのがよいと考えていました。
また、これらの条件から式を導き出し最小二乗法を応用しようと考えていたのですが、途中で投げ出してしまいました。
もしうまくいったら教えてください。

お礼

解答ありがとうございます。
x^2 ＋ y^2 + a*x + b*y + c = 0
のCの値より、半径R＝√((a + b - 4c) / 4)が求まりますので、通常の半径設定値より明らかに大きい場合は、直線とみなしております。

回答No.1

noname#230359

こんにちは
私の理解が間違っていたらごめんなさい。
要はあるプロットした点群がありそれが直線であり円弧である。その計算方法として近似値である最小自乗法で計算して、結果として線がずれるということですよね。これは確かなことはいえませんが、直線か円弧のどちらかを正とするしかないのではありませんか？製品の精度としてどちらを優先すべきか考えるほかないと思います。素人としての案としては、まず直線と円弧を最小自乗法でそれぞれ式をたてます。そして円弧を優先として求めた直線の一番離れたポイントより接線の方程式を出しなおします。こうすることによって図形的にはスムーズにできるように思いますが・・・。

円弧が正ということであれば、最小自乗法で求めた中心点を（Ａ、Ｂ）とすると
（x-A)^2+(y-B)^2＝｛（ｌaA-B+bl)/√(a^2+1)}^2（点と直線の距離の公式）
で答えがでると思いますが・・・。

直線と円弧を間違えました。

お礼

解答ありがとうございます。
確かに、円弧を正として直線をあわせる方法は、簡単なのですが、
今回の場合、点群の数で考えると直線のほうが遥かに多いため、直線を正として円弧のほうを最適化したいと考えております。

追記ありがとうございます。
確かに、半径で補正するのも1つだと思いますが、半径が変化することで、中心の最適値も変わるような気がするのですが・・・