氵斬化式の解き方を教えてください

質問

数学II,Bです
この写真の問題の解き方を教えてください。
解説もお願いします^^;

回答No.1

info33

とりあえず
(1) のみ

a[1]=1
a[n+1]=2a[n]+3
a[n]=2a[n-1]+3
a[n+1]-a[n]=2(a[n]-a[n-1])
=(2^2)(a[n-1]-a[n-2])
=(2^3)(a[n-2]-a[n-3])
= ...
=(2^(n-1))(a[2]-a[1])
=(2^(n-1))(a[2]-1)
=(2^(n-1))(2a[1]+3-1)
=(2^(n-1))(2+3-1)=4*2^(n-1)
=2^(n+1)

a[n]-a[n-1]=2^n
a[n-1]-a[n-2]=2^(n-1)
...
a[2]-a[1]=2^2

a[n]-a[1]=2^n +2^(n-1) + ... +2^2
a[n]-1=(2^2)(2^(n-1) -1)/(2-1)=2^(n+1) -4
a[n]=2^(n+1) -3 (n=2,3,4, ...)
a[1]=1
(Ans.) a[n]=2^(n+1) -3 (n=1,2,3,4, ...)