• ベストアンサー
  • 困ってます

数学の無理数の証明を√2を使って証明してください。

数学の無理数の証明を√2を使って証明してください。 その前に無理数って何ですか?

共感・応援の気持ちを伝えよう!

  • 回答数2
  • 閲覧数122
  • ありがとう数2

質問者が選んだベストアンサー

  • ベストアンサー
  • 回答No.1

無理数とは、整数の分数で表せない数字です。 では、証明しましょう。 背理法を使います。 √2が有理数と仮定すると、√2=m/n(m,nは互いに素の整数)と表せます。 両辺を二乗して2=m^2/n^2 m^2=2n^2 だからm^2は偶数。奇数の二乗は奇数なので、mは偶数。 よって、m=2m'とおけるから、m^2=(2m')^2=4m'^2=2n^2 よって、n^2=2m'^2より、nもぐうすう。 m,nが互いに素という条件を満たさなくなるので、√2=m/nとは表せないので、無理数である。

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

あありがとうございます

関連するQ&A

  • √2が無理数であることの証明

    √2が無理数であることの証明 閲覧ありがとうございます。√2が無理数であることの証明ですが、背理法以外のものを教えて下さい。 今日か明日中にお願いします。

  • 無理数であることの証明(背理法)について

    √2は無理数であることを証明する問題についてなのですが 背理法を用いて、√2は無理数でないとすると有理数だから √2=p/q (p、qは互いに素な正の整数)とおける・・・ (中略) pもqも偶数であるから、互いに素であることに反する。 よって√2は有理数ではなく無理数である と解説には記載されています。 ここでわからないのですが、なぜpとqは互いに素な正の整数でないといけないのでしょうか?? たとえばp=8、q=6だとしても、結局のところ4/3となるので有理数ということでOKな気がするのですが。。 数学が苦手なので、アホな質問だとは思うのですが、わかる方がおられましたら教えてください。 よろしくお願いします。

  • 無理数である事の証明、

    例えば、πが無理数である事の証明ってどうやるのか、かいつまんで教えて下さい。

その他の回答 (1)

  • 回答No.2
  • asuncion
  • ベストアンサー率32% (1840/5635)

>数学の無理数の証明を√2を使って証明してください。 何が言いたいのかわかりません。 √2 が無理数であることを証明したい、ということですか?

共感・感謝の気持ちを伝えよう!

質問者からのお礼

ありがとうございます

関連するQ&A

  • √2^√2が無理数である事の証明

    √2^√2が無理数であることを証明したいのですが 背理法以外でも、簡単に解けるものがあるのならば 教えていただけると嬉しいです

  • 有理数+無理数=無理数 の証明

    有理数+無理数=無理数ということは イメージではわかるのですが 厳密に文字を使って証明することが出来ません。背理法を使って解くのでしょうか?

  • 無理数や超越数であることの証明の歴史

    巾根数やe,Π,e^π,π^eなどが無理数であることや超越数であることはいつ頃証明されたのでしょうか?またその頃の世の中や数学はどのような背景だったのでしょうか?

  • 0.1234567891011...が無理数の証明

    チャンパーノウン定数と呼ばれているらしいのですが、これが無理数であることの証明はどうすればいいのでしょうか。。。 簡単な道筋を教えてもらえると助かります

  • πが無理数であるという証明・・・

    高校1年生です。 教科書にπは無理数って書いてあったんですが、納得いきません。先生に聞いても「難しい証明だから・・・」っていわれて・・・調べてみたんですが、わかりません。 高1にもわかる様に証明してください。 お願いします。

  • √2^√2が無理数である事の証明

    塾で、東大生に 『背理法』を使って (√2)^√2が無理数である事を証明しなさいといわれたのですが 教えてください!

  • √7が無理数であることの証明

    √7は無理数であることを証明せよ。ただし、nを自然数とする時、n^2が7の倍数ならば、nは7の倍数であることを用いてもよいものとうする。 解 √7が無理数でないと仮定すると,1以外に公約数を持たない自然数a,bを用いて√7=a/bと表される・・・・・以下省 教えてほしいところ 有理数というのはa,bという整数を用いてa/bと表される数とかいてありました。 この記述だと、49/7は有理数じゃないと言っているように思えます。 いいんでしょうか?? また、自然数と限定しているのも疑問です。-3と-2で-3/-2これも有理数でさらに正です。 これを除外すると-3/-2は有理数じゃないということになります。 これは除外して考えてはいけないのでは??

  • 対偶法による無理数の証明について教えて下さい。

    √2が無理数ならば√2+1は無理数であることを証明せよ。 を背理法ではなく、対偶法で以下のように考えました。 √2+1=P(有理数)とすると√2=P-1(有理数)となり√2が有理数であること が証明された。 よって対偶法が真なので元の命題も真である。 これでも問題ないですか?

  • √2が無理数であることの証明について

    √2が無理数であることの証明について 一つ疑問が生じまじた。 背理法を用いて、√2が有理数であると仮定すると、 √2=q/p (p,qは自然数)とおけるから 両辺二乗して 2=q^2/p^2 ⇒2*p^2=q^2 ・・・A ここから無限降下法を用いて矛盾を導くのが一般的な解法であると思うのですが、 Aの段階で明らかに(明らかでなくとも、証明すれば)右辺は平方数で左辺は平方数ではありません。 これは矛盾ではないのでしょうか? 例えば、平方数の約数の個数は奇数、非平方数の約数の個数は偶数ということをまず示せば、素因数分解の一意性に矛盾することは言えますが、そのような補題なしに「非平方数=平方数」は矛盾と考えてはいけないのでしょうか? 矛盾と考えていいのであれば一般の非平方数nに対して√nが無理数であることの証明がすごく簡単になるのですが・・・ 解説お願いします。

  • 無理数と有理数の証明

    √2が無理数であることは既知とし、√2+√3が無理数であることを次のように証明した。 まず、p=√2+√3、q=√2ー√3とする。 (1)pq=-1は有理数であるから、もしpが有理数ならqも有理数である。 (2)同様にqが有理数ならpもまた有理数である。 (3)またp+q=2√2は有理数ではないからpが有理数ならqは有理数ではない。 (4)よってqを有理数と仮定しても有理数でないと仮定してもpは有理数である。 (5)それゆえpうぃ有理数と仮定すると矛盾が生じる。 異常によりpは無理数である。 上の証明で不要と思われる文章を教えて下さい。 頭が混乱してさっぱり分かりません。 ご教示いただけますと助かります。