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円と直線の方程式を連立させて解くのが定石だとは思いますが、これらの問題では、グラフを描けば明らかです。 (1) 半径√2の円の中心は原点Oであり、傾き-1の直線は原点Oを通るので、共有点の座標は次のようになります。 (円の中心は原点Oであり、直線は原点Oを通るので、必然的に共有点をもちます。) (√2cos135°,√2sin135°)=(-1,1) (√2cos315°,√2sin315°)=(1,-1) もっと簡単に考えると、1番目の共有点を原点Oに関して対称移動したものが2番目の共有点になるので、2番目の共有点はx座標とy座標の符号が変わるだけです。 (2) 半径√18=3√2の円の中心は原点Oであり、傾き1の直線は原点Oを通るので、共有点の座標は次のようになります。 (同上) (3√2cos45°,3√2sin45°)=(3,3) (3√2cos225°,3√2sin225°)=(-3,-3) (1)と同様に、1番目の共有点を原点Oに関して対称移動したものが2番目の共有点になるので、2番目の共有点はx座標とy座標の符号が変わるだけです。 (3) グラフを描けば、簡単に答えが出ます。 中心が原点Oで半径√4=2の円:x^2+y^2=4と直線:y=-x+2の共有点の座標は、(2,0)と(0,2)になります。 ※ 数式を用いて解くだけが数学ではありません。 グラフの性質を大いに利用しましょう。
- asuncion
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ちょっとだけ補足します。 先の回答では、xに関する2次方程式を解くと必ず2つの解がありました。 これが、重解を持つ場合、円と直線は接することになります。 また、判別式が負になる場合、円と直線は共有点を持ちません。
- asuncion
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(1) x^2 + y^2 = 2 ... (1) y = -x ... (2) (2)を(1)に代入する。 2x^2 = 2, x^2 = 1, x = ±1 (2)に代入して、y = マイナスプラス1 ∴共有点は(1, -1), (-1, 1) (2) x^2 + y^2 = 18 ... (1) y = x ... (2) (2)を(1)に代入する。 2x^2 = 18, x^2 = 9, x = ±3 (2)に代入して、y = ±3 ∴共有点は(3, 3), (-3, -3) (3) x^2 + y^2 = 4 ... (1) y = -x + 2 ... (2) (2)を(1)に代入する。 2x^2 - 4x + 4 = 4 x^2 - 2x = 0 x(x - 2) = 0 x = 0, 2 (2)に代入して、y = 2, 0 ∴共有点は(0, 2), (2, 0)
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