- 締切済み
部分空間Wの生成系
hiccupの回答
- hiccup
- ベストアンサー率27% (12/44)
２つの１次方程式で未知数が２つ以上あるから、２つの未知数を残ったもので表すのですよ。そうすると、生成系がわかります。 私なら第一式から「z で表す」ことはしませんな。でも答えからすると z と w で表しているようです。仕事が減らせるのに。 たとえば、x と y を定数扱いして z と w の連立１次方程式と見て解いたものが z=3x-5y w=2x+4y だったとすると (x,y,z,w)=(x, y, 3x-5y, 2x+4y) =(x, 0, 3x, 2x)+(0, y, -5y, 4y) =x(1,0,3,2)+y(0,1,-5,4) となり、〈 (1,0,3,2), (0,1,-5,4) 〉を生成系に選ぶことができる、というわけです。 ふつう分数が出てきますが、もしも z=(-2/3)x+(5/3)y w=(7/2)x-(9/4)y な感じになったら、同様にして (x,y,z,w)=(x/6)(6,0,-4,21)+(y/12)(0,12,20,-27) とし、係数を書き直すと x'(6,0,-4,21)+y'(0,12,20,-27) とできるから、生成系を〈 (6,0,-4,21), (0,12,20,-27) 〉にすることができる、というわけです。 先にも書いてますが、z と w を定数扱いして x と y の連立１次方程式と見れば、答えと同じものが出ますよ、きっと。
関連するQ&A
- 線形代数の部分空間Wの生成元の定義について
部分空間W の生成元の定義に補足で ※a1，・・・，akは、線形独立やWの基底である必要はない とあります。 しかし、このあとの例題で、 R^2の線形空間において、W={x=［x1 x2］|2x1-x2=0｝(注意:xは列ベクトルです)がR^2の部分空間であることを示し、Wの基底を求めよ。という問題で、結果x=[x1 x2]=[x1 2x1]=x1[1 2](注意:xは列ベクトルです)とのりa1=[1 2](列ベクトル)とおくと、a1 はこれのみで、線形独立であり、かつWの任意の元xはx=ca1と、a1の線形結合で表される。よって{a1｝はWの基底である。このとき、Wはa1で生成される空間とよんでもいい。とります。でもこれは※と矛盾しています。どなたか詳しい解説を頂けないでしょうか？
- ベストアンサー
- 数学・算数
- ベクトルが部分空間を生成する条件
ある互いに一次独立なベクトルが、ある部分空間を生成する（それらのベクトルが基底である）ことを示す方法には、それらの一次独立なベクトルの個数と部分空間の次元とが一致することを示す、というものがひとつありますが、ほかにどのような方法がありますか。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分空間について教えてください。
線形代数の問題です。 Ｗ1、Ｗ2≦ＶのときＷ1∩Ｗ2≦Ｖ （線形空間Vの線形部分空間Ｗ1、Ｗ2に対してその共通部分Ｗ1∩Ｗ2は、Ｖの線形部分空間となる） という性質を証明したいのですが、よく分かりません。 どなたかアドバイスをお願いします。
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 線形代数の部分空間の問題です
W={ (x y z)∈R^3 | x≧0,y≧0,z≧0 } が部分空間かどうか確かめる問題です 部分空間かどうか証明するとき u ∈W ならば ｃu∈W というのを確かめますが 確かめたところ場合分けが必要で ｃ＞0のときｃu∈W となりましたが ｃ＜0のときはｃu∈W になりませんでした こういうとき 答えはWはR^3の部分空間ではないと書くのか、 ｃ＞0のときは部分空間でｃ＜0のときはR^3の部分空間ではないと書くのか、わかりません どちらが正しい答えの書き方になるのでしょうか
- ベストアンサー
- 数学・算数
- 部分空間
線型代数でわからないところがあったの、どなたか教えて頂けると有難いです。大学生です（理系） 定理*を利用して、２×２行列全体の作る線型空間Ｍの部分空間となるものはどれか？ (1) a b c d という形の行列全体。ただし、a,b,c,dは整数とする。 (2) a b c d という形の行列全体。ただし、a+d=0とする。 (3)A=Atrとなる２×２行列全体。（Atr:行列Aの転置行列） (4)正方行列Ａの行列式det(A)=0となる2×2行列全体。 定理* 線形空間Ｖの空でない部分修吾Ｗが部分空間となるための必要十分条件は、 ・ベクトルu,vがＷのベクトルなら、u+vもＷのベクトル ・uがＷのベクトル、kがスカラーなら、kuもＷのベクトル である。 答えは2,3らしいのですが、なぜだかよくわかりません。 1はスカラーに関して閉じていないから×なのかな…と思うのですが、他はよくわからないです。
- ベストアンサー
- 数学・算数