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数学の道のりの問題です。
図(下に写真でのせてます)のような道をもつ町がある。この町の地点Aから地点Bへ行く最短な道筋について、次の問に答えよ。 (1)道筋は全部で何通りあるか。 (2)途中で道を直角にn回曲がる道筋の数をa[n]とするとき、a[2]を求めよ。 (3)地点Aから地点Bへ行くのに、東西にN+1本、南北にN+1本の道路があるとし(図はN=4)、(2)と同様の道筋の数をa[n]とする。a[2k]を求めよ。ただし、k=1,2…,N-1とする。 (1)、(2)は解答ができたのですが、(3)が分かりません。 解答の方法また解答をお願いします。
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(3) は、かなり難しい! a[2k] ということは、曲がる回数が偶数回になります。 つまり、初め、Aから北に進んだ場合は、最後も北に進んでBに着くことになります。 初めに東に進めば、最後も東向きになります。 縦横の対称性により、初めに東に進んだ場合のa[2k]と、初めに北に進んだ場合のa[2k]は、等しくなります。 従って、初めに東に進むとしてa[2k]を求め、これを2倍すれば、答えが得られます。 以下、東に進む場合を - 、北に進む場合を + で表します。 N=4の場合は、次の通りです。 初めに東に進んで、2回曲がる道順は、 - + + + + - - - - - + + + + - - - - - + + + + - の3通りですから、a[2]=3*2=6 これは、C(3,1)*2 と計算されています。 ここで、C(3,1)=3!/(1!*2!) 又、初めに東に進んで、4回曲がる道順は、 (i) +が(3,1)となる場合 - + + + - + - - - + + + - - + - - - + + + - + - (ii) +が(2,2)となる場合 - + + - + + - - - + + - - + + - - - + + - + + - (iii) +が(1,3)となる場合 - + - + + + - - - + - - + + + - - - + - + + + - よって、a[4]=9*2=18 この計算は、C(3,1)*C(3,2)*2 です。 4個の+を2つに分ける分け方がC(3,1)通り、4個の-を3つに分ける分け方がC(3,2)通りあるからです。 そして、6回曲がる道順は、 a[6] = C(3,2)*C(3,3)*2 = 6通りになります。 次に、N=5の場合の計算式を示すと、次の通りです。 a[2*1] = C(4,0)*C(4,1)*2 = 8 a[2*2] = C(4,1)*C(4,2)*2 = 48 a[2*3] = C(4,2)*C(4,3)*2 = 48 a[2*4] = C(4,3)*C(4,4)*2 = 8 これで、a[2k]の一般式が予想できましたか?
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お礼
(3)の解答ありがとうございます!! 詳しい説明でa[2k]の一般項が見えてきました!!