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複素数
yyssaaの回答
- yyssaa
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＞iを虚数単位として ω=cos(2π/7)+sin(2π/7)は=cos(2π/7)+isin(2π/7)でしょう。 であれば、2π/7=θとしてオイラーの公式によりω=e^(iθ) として計算すればよい。 α=ω+ω^6=e^(iθ)+e^(i6θ) =cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(12π/7)+isin(12π/7) =cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(2π-2π/7)+isin(2π-2π/7) =cos(2π/7)+isin(2π/7)+cos(2π/7)-isin(2π/7) =2cos(2π/7) β=ω^2+ω^5=e^(i2θ)+e^(i5θ) =cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(10π/7)+isin(10π/7) =cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(2π-4π/7)+isin(2π-4π/7) =cos(4π/7)+isin(4π/7)+cos(4π/7)-isin(4π/7) =2cos(4π/7)=2cos(2π/7+2π/7)=2{cos^2(2π/7)-sin^2(2π/7)} =2{2cos^2(2π/7)-1}=4cos^2(2π/7)-2 γ=ω^3+ω^4=e^(i3θ)+e^(i4θ) =cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(8π/7)+isin(8π/7) =cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(2π-6π/7)+isin(2π-6π/7) =cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(6π/7)-isin(6π/7) =2cos(6π/7)=2cos(2π/7+4π/7)=2{cos(2π/7)cos(4π/7)-sin(2π/7)sin(4π/7)} =4cos^3(2π/7)-2cos(2π/7)-2sin(2π/7)sin(4π/7)}=(*) ここでsin(4π/7)=sin(2π/7+2π/7)=2sin(2π/7)cos(2π/7)だから sin(2π/7)sin(4π/7)=2sin^2(2π/7)cos(2π/7)=2cos(2π/7){1-cos^2(2π/7)} =2cos(2π/7)-2cos^3(2π/7) (*)=8cos^3(2π/7)-6cos(2π/7) α+β+γ=2cos(2π/7)+4cos^2(2π/7)-2+8cos^3(2π/7)-6cos(2π/7) =2{4cos^3(2π/7)+2cos^2(2π/7)-2cos(2π/7)-1}・・・答 αβ={e^(iθ)+e^(i6θ)}*{e^(i2θ)+e^(i5θ)} =e^(i3θ)+e^(i6θ)+e^(i8θ)+e^(i11θ) =cos(6π/7)+isin(6π/7)+cos(12π/7)+isin(12π/7) +cos(16π/7)+isin(16π/7)+cos(22π/7)+isin(22π/7) 後は同様にご自分でどうぞ！
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