逆ゴールドバッハ予想とは？
- 逆ゴールドバッハ予想とは、13以上の奇素数は2つの合成数の和で表すことができ、かつその2つの数は互いに素であるという予想です。
- 逆ゴールドバッハ予想の証明または否定証明が求められていますが、現時点では難しいとされています。
- 奇素数を連なる2つの数の和で表すことができ、その2つの数は互いに素である必要がないということを証明することが重要なポイントです。
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逆ゴールドバッハ予想
仰々しいタイトルをつけてしまいましたが、次の予想を立てました 【逆的なゴールドバッハ予想】 13以上の奇素数は、2つの合成数の和で表すことができる。 また、この2つの数は互いに素である。 13=4+9,29=14+15,59=27+32 この予想は、たぶん合っていると思うのですが… 簡単に証明できる気がするのですが、行き詰まってしまいました。どなたか証明または否定証明できるでしょうか ●１つのヒント すべての奇数2k+1は、２つの連なる数の和k+(k+1)で表すことができる。 したがって、 奇素数=(k-m)+(k+m+1) の形で表すことができる。 このとき、右辺の2項のうち一方は偶数だから、もう一方の数が奇素数である必要はない ということを証明できればよいのですが… ちなみに、参考として2つの数a,kが互いに素(a,k)=1であるとき、(a,a+k)=1となります。
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「逆ゴールドバッハ予想」は (GG1) 13以上の素数は2個の合成数の和で表せる。 (GG2) それら2個の合成数は互いに素である。 ということですね。 しかし、(GG2)は(GG1)から直ちに出ます。(∵ p=a+bであるとき、或る1以上の数rでa,bがどちらも割り切れるならば、pもrで割り切れてしかもr≠pだから、pは素数ではない。）なので、(GG1)だけを証明すれば充分です。 以下、変数は自然数の上だけで考えるものとし、素数の集合をPrと書く事にします。ここで言う合成数とは「0でも1でも素数でもない自然数」のことなので、最小の合成数は4ですね。そこで、(GG1)は次式で表せます。 (GG1) ∀p((p∈Pr ∧ p≧13) ⇒ ∃a(a∉Pr ∧ a≧4 ∧ (p-a)≧4 ∧ (p-a)∉Pr)) この論理式の中の、∃a(…)の部分の否定を述語H(p)で表すことにすると、 H(p) = (∀a((p-4)≧a≧4 ⇒ (a∈Pr ∨ (p-a)∈Pr))) と書けて、これを使うと(GG1)は (GG1') ∀p((p∈Pr ∧ p≧13) ⇒ ￢H(p)) とも表せます。 [1] ∀p(p≦7 ⇒ H(p)) なぜなら、p≦7のとき、どんなaも(p-4)≧a≧4を満たさないからです。しかし、これは(GG1)とは関係ないですね。 [2] 以下、p≧8のときについて考えます。 「(p-4)≧a≧4の範囲にある(p-7)通りのaのどれについても、aかp-aの少なくとも一方が素数だ」というのがH(p)の意味するところです。だから、(p-4)≧q≧4を満たす素数qが少なくとも (p-7)/2 個あることが、H(p)が成立つための必要条件です。集合Q(p)を Q(p) = {q | (p-4)≧q≧4 ∧ q∈Pr} と定義すると、この事は ∀p(H(p) ⇒ |Q(p)|≧(p-7)/2) と表せます。( )内の対偶をとれば、 ∀p(|Q(p)|＜(p-7)/2 ⇒ ￢H(p)) です。（ |・| は「集合の要素の個数」のことです。） [3] よく知られているように、2と3以外のどんな素数qについても、 qに対してある自然数nが存在して、q=6n+1かq=6n-1の丁度一方を満たします。 従って、|Q(p)|（(p-4)≧q≧4を満たす素数qの個数）は、「(p-5以下の6の倍数)の個数の2倍」よりも多くありません。ですから、 c(p) = (p-5)/3 という関数を使って（8以上の素数にだけ興味があるので） ∀p((p∈Pr ∧ p≧8) ⇒ c(p)≧|Q(p)|) が言えます。（試しにp≧8の素数を小さい順に調べてみると、 c(11) = 2, Q(11) = {5,7}, |Q(11)|=2 c(13) = 2+(2/3), Q(13) = {5,7}, |Q(13)|=2 c(17) = 4, Q(17) = {5,7,11,13}, |Q(17)|=4 となり、確かにc(p)≧|Q(p)|であることが観察されますね。） [4] 以上から、p≧8のとき、 c(p)＜(p-7)/2 であるような素数pはH(p)を満たさないことが分かります。さてこの不等式は、移項して整理すれば p＞11 と等価です。11の次に大きい素数は13だから、これを「p≧8のとき、p≧13であるような素数pはH(p)を満たさない」と書いても同じことで、すなわち ∀p((p∈Pr ∧ p≧8) ⇒(p≧13⇒ ￢H(p)) が分かりました。これは (GG1') ∀p((p∈Pr ∧ p≧13) ⇒ ￢H(p)) と同じことです。 かくて「逆ゴールドバッハ予想」は肯定的に解決された。（とか言っちゃって、「ほぼ自明」ですよね。）
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- ask-it-aurora
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とりあえず傍証を．13以上1000未満の素数について主張は正しいです． 13 = 4 + 9 17 = 8 + 9 19 = 4 + 15 23 = 8 + 15 29 = 4 + 25 31 = 4 + 27 37 = 4 + 33 41 = 6 + 35 43 = 4 + 39 47 = 8 + 39 53 = 4 + 49 59 = 4 + 55 61 = 4 + 57 67 = 4 + 63 71 = 6 + 65 73 = 4 + 69 79 = 4 + 75 83 = 6 + 77 89 = 4 + 85 97 = 4 + 93 101 = 6 + 95 103 = 4 + 99 107 = 8 + 99 109 = 4 + 105 113 = 8 + 105 127 = 4 + 123 131 = 6 + 125 137 = 4 + 133 139 = 4 + 135 149 = 4 + 145 151 = 4 + 147 157 = 4 + 153 163 = 4 + 159 167 = 6 + 161 173 = 4 + 169 179 = 4 + 175 181 = 4 + 177 191 = 4 + 187 193 = 4 + 189 197 = 8 + 189 199 = 4 + 195 211 = 4 + 207 223 = 4 + 219 227 = 6 + 221 229 = 4 + 225 233 = 8 + 225 239 = 4 + 235 241 = 4 + 237 251 = 4 + 247 257 = 4 + 253 263 = 4 + 259 269 = 4 + 265 271 = 4 + 267 277 = 4 + 273 281 = 6 + 275 283 = 4 + 279 293 = 4 + 289 307 = 4 + 303 311 = 6 + 305 313 = 4 + 309 317 = 8 + 309 331 = 4 + 327 337 = 4 + 333 347 = 4 + 343 349 = 4 + 345 353 = 8 + 345 359 = 4 + 355 367 = 4 + 363 373 = 4 + 369 379 = 4 + 375 383 = 6 + 377 389 = 4 + 385 397 = 4 + 393 401 = 6 + 395 409 = 4 + 405 419 = 4 + 415 421 = 4 + 417 431 = 4 + 427 433 = 4 + 429 439 = 4 + 435 443 = 6 + 437 449 = 4 + 445 457 = 4 + 453 461 = 6 + 455 463 = 4 + 459 467 = 8 + 459 479 = 4 + 475 487 = 4 + 483 491 = 6 + 485 499 = 4 + 495 503 = 6 + 497 509 = 4 + 505 521 = 4 + 517 523 = 4 + 519 541 = 4 + 537 547 = 4 + 543 557 = 4 + 553 563 = 4 + 559 569 = 4 + 565 571 = 4 + 567 577 = 4 + 573 587 = 4 + 583 593 = 4 + 589 599 = 4 + 595 601 = 4 + 597 607 = 4 + 603 613 = 4 + 609 617 = 6 + 611 619 = 4 + 615 631 = 4 + 627 641 = 4 + 637 643 = 4 + 639 647 = 8 + 639 653 = 4 + 649 659 = 4 + 655 661 = 4 + 657 673 = 4 + 669 677 = 6 + 671 683 = 4 + 679 691 = 4 + 687 701 = 4 + 697 709 = 4 + 705 719 = 4 + 715 727 = 4 + 723 733 = 4 + 729 739 = 4 + 735 743 = 6 + 737 751 = 4 + 747 757 = 4 + 753 761 = 6 + 755 769 = 4 + 765 773 = 6 + 767 787 = 4 + 783 797 = 4 + 793 809 = 4 + 805 811 = 4 + 807 821 = 4 + 817 823 = 4 + 819 827 = 8 + 819 829 = 4 + 825 839 = 4 + 835 853 = 4 + 849 857 = 6 + 851 859 = 4 + 855 863 = 8 + 855 877 = 4 + 873 881 = 6 + 875 883 = 4 + 879 887 = 8 + 879 907 = 4 + 903 911 = 6 + 905 919 = 4 + 915 929 = 4 + 925 937 = 4 + 933 941 = 6 + 935 947 = 4 + 943 953 = 4 + 949 967 = 4 + 963 971 = 6 + 965 977 = 4 + 973 983 = 4 + 979 991 = 4 + 987 997 = 4 + 993
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