ゴールドバッハ予想のような問題

質問

ゴールドバッハ予想は、二つの素数の和で全ての偶数を表せるかという問題ですが、二つの素数の和で全ての奇数を表すことができることは証明できるのでしょうか？

回答No.2

Knotopolog · ベストアンサー

＃１さんの仰る通りです．

＞二つの素数の和で全ての奇数を表すことができることは証明できるのでしょうか？

今，私の作った定理です．

定理，　二つの素数の和で全ての奇数を表すことは出来ない．

証明：
奇数１は，二つの素数の和では表せない．
奇数３は，３＝１＋２ であり，１は素数でないため．
奇数３は，二つの素数の和では表せない．

また，１，３以外の奇数では，以下の通りである．

二つの素数の和で奇数を表すには，二つの素数のうち，
一方の素数が２でなければならないことは自明である．

いま，奇数を 2k－1, ( k＝1，2，3 ・・・）とすると，
2k－1 は全ての奇数を表すことが出来る．
素数を p とすると，二つの素数の和で全ての奇数を表すためには，

2＋p＝2k－1　・・・・・（１）

が成り立たなければならない．（１）を変形すると，

3＋p＝2k　・・・・・（２）

である．
素数 p は，3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29,・・・・・である．
p＝3 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋3＝2k　6＝2k　k＝3.
p＝5 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋5＝2k　8＝2k　k＝4.
p＝7 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋7＝2k　10＝2k　k＝5.
p＝11 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋11＝2k　14＝2k　k＝7.
p＝13 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋13＝2k　16＝2k　k＝8.
p＝17 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋17＝2k　20＝2k　k＝10.
p＝19 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋19＝2k　22＝2k　k＝11.
p＝23 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋23＝2k　26＝2k　k＝13.
p＝29 を取ると（２）は，3＋p＝2k　3＋29＝2k　32＝2k　k＝16.

となってゆく．したがって，

k＝６，９，１２，１４，１５　などの場合が，（２）を満たさない．
k＝６の場合，（２）は，3＋p＝12　となり，p＝9 を得るので，
p が素数ではない．また，
k＝９，１２，１４，１５　の場合も，p は素数にならない．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　（Q.E.D.）

お礼

考えてみたら、あたりまえのことでした。回答、ありがとうございました。

回答No.3

390131

2より大きな偶数は、2個の素数の和で必ず表せると、ゴールドバッハは予測しました。例えば14は、3+11＝7+7と2つの素数の足し算で表現することが出来ます。実際にコンピュータで5×10の17乗の偶数まで成り立つことが証明されています。この事実は、何を意味しているのでしょうか。
偶数は、等しい2つの数に分けることが出来ます。偶数（2Ｐとする）を2つに等分した（Ｐとする）一方から、ある数（Ａ）を引き（引いた後をＸとする）、他方にその数（Ａ）を足し（足した後をＹとする）、ＸとＹが共に素数である様なＡが必ず存在すれば、予測は証明されます。
Ｙ＝Ｘ+2Ａと表されます。表を使ってイメージを伝えます。横線の左端を0、右端を2Ｐとし、中間点をＰとします。元々、ＸとＹはＰ上にあります。Ｐが素数であれば、ＸとＹを動かさなくても済みます。偶数（2Ｐ）＝Ｐ（素数）+Ｐ（素数）と表されます。そうでない場合は、ＸをＡだけ0に近づけなければならず、その分ＹはＡだけ2Ｐに近づきます。
0からＰまでの間には、素数が2から順番に3・5・7・11・13・17・19・23・29（どこまでも続きますが、説明の便宜上10個までとします）と順番に並んでいます。Ｐから2Ｐまでには、0からＰ間にある10個の素数の倍数が並んでいます。そうして、0からＰ間にある素数の位置にＸを置いた場合、Ｙが0からＰ間にある10個の素数の倍数位置に来なければ、Ｙは素数となります。（素数の倍数の位置にＹが来ると、Ｙは素数ではなくなります）
Ｐが、0からＰ間にある10個の素数である、2から29までのいずれかの素数で割切れる場合は、その位置にＸを動かしても無駄です。Ｙがその素数の倍数になるからです。（ＰはＸの倍数となる。Ｐ＝Ｘ+Ａなので、ＡもＸの倍数である。従ってＹ＝Ｘ+2ＡもＸの倍数となり、Ｙは素数ではありません）その場合と、Ａ＝Ｘ/2の場合以外は、ＹはＸを置いた位置の素数（Ｒとする）の倍数にはなりません。
そうして、Ｘを0からＰ間にある全ての素数上に置いたとき、Ｙが全ての場合において、0からＰ間にある素数の倍数の位置に来た時のみ、Ｙは素数ではあり得なくなります。その時のみ、偶数（2Ｐ）を2つの素数（Ｘ・Ｙ）で表現することは出来ないと言えます。
　偶数（2Ｐ）を2つの素数で表現出来ない確率は、偶数（2Ｐ）が小さい間は、大変低いと言えます。Ｘを置くことが出来る位置は、素数の位置のみです。素数10個の例で説明すると、Ｘを10箇所の位置に置いて見て、その10回全てにおいて、Ｙはその10個の素数の倍数位置いずれかに来なければなりません。1回でもそれらの倍数の位置に来なければ、ＸとＹは素数となります。Ｘを置くことが出来る位置は10であるのに対して、Ｙが来られる位置は非常に沢山あります。しかも、10回中1回でも来る事が出来れば良いのです。
　従って、偶数（2Ｐ）が小さい内は、2つの素数で表せない確率は大変低いと言えます。しかし、偶数（2Ｐ）が大きくなるに従って、0からＰまでに現れる素数が多くなって行き、Ｐから2Ｐ間においては、増えた素数の倍数がどんどん除かれて行き、素数は次第にまばらに成って行きます。そして、偶数（2Ｐ）が大きくなるに従って、ＸとＹが共に素数となれる確率は、低下して行きます。偶数（2Ｐ）が極端に大きくなると、Ｐから2Ｐ間に素数が全く存在しなくなることもあり得ます。その場合、偶数（2Ｐ）は決して2つの素数では表せません。
コンピュータで確認出来た範囲は、まだ偶数が小さく2つの素数で表現出来る確率が高かった為そうなっただけです。ゴールドバッハの予測は、言い換えれば、偶数が2つの素数で表せる確率が高い時には、その偶数はその2つの素数で表せると、当たり前の事を言っているだけだったのです。

回答No.1

Kules

証明も何も、すぐに反例が見つかってしまう気がするのですが。
例：11
素数は、２を除くと全て奇数です。２つの素数を足して奇数になるには、偶数＋奇数である必要がありますが、
偶数の候補は２しかないので、
２＋奇数の素数
で表せない奇数は全てアウトだと思います。

こんな話ではないんですかね？

参考になれば幸いです。