高校数学の不等式の問題です

質問

0<=x<=1,0<=y<=1の範囲で(x-2y+1)^2+(x+y-1)^2の最大値と最小値を求めよ

解説はX=x-2y+1,Y=x+y-1とおくと(X,Y)=x(1,1)+y(-2,1)+(1,-1)でx,yが0<=x<=1,0<=y<=1の範囲を動くとき
点P(X,Y)は右図の網目部分(平行四辺形の周および内部)を動くとあるのですが何でPは右図の網目部分(平行四辺形の周および内部)を動くのか分かりません

回答No.10

gohtraw · ベストアンサー

（１）ｘ＝０で固定、ｙ＝０から１まで０．１刻み
（２）ｘ＝０．１固定、ｙ＝０から１まで０．１刻み
（３）ｘ＝０．２固定、ｙ＝０から１まで０．１刻み
これを繰り返して
（１１）ｘ＝１固定、ｙ＝０から１まで０．１刻み
これで１２１通り。

一度やって判ったら、次からはこんな面倒くさいことをやらなくても
形が判るようになる。遠回りのようだが苦労して身につけたら忘れない。

お礼

御返答有難うございます

補足

分かりました、やってみます、有難うございます

回答No.9

gohtraw

例えばね、ｘが０から１まで０．１刻みとすると１１通り、ｙも同様にすると１１通り
なので、全部やっても１１＊１１＝１２１通りにしかならないでしょ。これ全部
やったら平行四辺形の周および内部ということがきっと実感できるはず。
多少手間だけどやる価値はあると思うよ。

それもすべてやらなくても２０か３０やったら傾向が判ってあとは「こんな風」
ってのが見えてくるはず。悪いこと言わないからやってご覧。

お礼

御返答有難うございます

補足

xを0.1刻みでやる間yは何か固定するんですか？0とか1とかに
逆のyを0.1刻みでやる間のxの値は固定するんですか？

回答No.8

gohtraw

例えば、
(X,Y)=x(1,1)+y(-2,1)+(1,-1)
にｘ＝０．５を代入して、ｙを０から１まで０．１刻みで代入してみたらどうなる？
あるいは
ｙ＝０．５を代入し、ｘを０から１まで０．１刻みで代入してみたら？

適当な間隔をおいてそういうことをやってみたらっていってるんだけど？

ｘとｙの組み合わせは無限にあるので全部試すことはできないが、適当な
間隔をおいてやってみたらその間がどうなるか大体見当がつくんじゃないの？

お礼

御返答有難うございます

補足

>ｙ＝０．５を代入し、ｘを０から１まで０．１刻みで代入して>みたら？
やってみました、代入していったら出来ましたが、もっと代入とかする前に形を分かりたいのですが無理ですか？

回答No.7

gohtraw

ｘ＝０に固定して、ｙを０から１まで変化させたら点Ｐはどうなりますか？
ｘ＝０．５に固定してｙ＝０から１まで変化させたら？
ｘ＝０．９で同じことをやったら？
ｘ＝１で同じことをやったら？

同様に、
ｙ＝０に固定してｘを０から１まで変化させたら？
ｙ＝０．５だったらどうなる？
ｙ＝０．９だったら？
ｙ＝１だったら？

というようなことをすべてのｘとｙの組についてやったらどうなるでしょうか？
まあ組み合わせは無限にあるので代表的なところを試して、それらの間は
推定するしかないですけど。

お礼

御返答有難うございます

補足

>ｘとｙの組についてやったらどうなるでしょうか？
x=1でｙを変化させる場合とy=1でxを変化させる場合をやってみたのですが、この場合だと平行四辺形らしきものの2辺が出来たのですが、後の組み合わせって言うのはどうすればいいですかx=0でyを変化させる場合とy=0でxを変化させる場合で全部ですか？

回答No.6

gohtraw

点（１、－１）をＱ、点（２，０）をＲ，点（－１，０）をＳ、点Ｐを（０，１）とすると、
四角形ＱＲＰＳは平行四辺形でしょ？

なぜなら、
ベクトルＱＳ＝ベクトルＲＰ
であり、ということは線分ＱＳと線分ＲＰは平行で長さが同じということ
だから。

お礼

御返答有難うございます

補足

この4点で作られる四角形が平行四辺形なのは分かりますが

何で内部とか境界も含んで平行四辺形の内部を動くことになるんですか？x=0やy=0の時とかにこの4点を通るのは分かりますが

回答No.5

gohtraw

＞>ｘ＝ｙ＝１だったら（１、－１）を起点としてｘ軸方向に１、>ｙ軸方向にー１進んだのち
＞x軸方向に１、y軸方向に1進んだ後ですよね？

はい、間違えました。ｙ軸方向には１です。

＞何で平行四辺形を描いてることになるんですか？
紙に適当なベクトルを二つ描いて、実際にその合成をしてご覧としか言いようがない
ですね。言葉でいうより実感するほうが大事なので。

お礼

御返答有難うございます

補足

>紙に適当なベクトルを二つ描いて、実際にその合成をしてご覧>としか言いようがない
実際にx=1,y=0とx=0,y=1とx=1,y=1の場合をやってみたのですが、3点(2,0),(-1,0),(0,1)になるのは分かるのですが、平行四辺形にどうやってなるのか分かりません、解説の方よろしくお願いします

回答No.4

noname#215361

ANo.2の訂正です。

(1)の2行目「X=x-2(Y-x+1)」は、「X=x-2(Y-x+1)+1」の誤りです。

大変失礼致しました。

お礼

御返答有難うございます

補足

了解しました

回答No.3

gohtraw

＞ｘ（１，１）やｙ（－２，１）の（１，１）や（－２，１）はx軸で正方向で1進みy軸で正方向に1進む、x軸負方向に2進みy軸正方向に1進むという事ですか？

ｘ（１，１）はベクトル（１，１）をｘ倍したベクトルということで、ｘ軸方向にｘ、ｙ軸方向にｘ進むということです。同様に
ｙ（－２，１）はｘ軸方向にー２ｙ、ｙ軸方向にｙ進むということです。

＞>ｘ＝ｙ＝１だったら点Ｐは点Ｑ，Ｒ,Sを三つの頂点とする平行
＞>四辺形（添付図）のもう一つの頂点に一致します。
＞この場合だけ分かりません座標で考えると(0,1)に移るという事ですか？

その通りです。ｘ＝ｙ＝１だったら（１、－１）を起点としてｘ軸方向に１、ｙ軸方向にー１進んだのち、ｘ軸方向にー２、ｙ軸方向に１進むということになります。これってベクトルの合成で平行四辺形を描いているのと同じですよね？

お礼

御返答有難うございます

補足

>ｘ＝ｙ＝１だったら（１、－１）を起点としてｘ軸方向に１、>ｙ軸方向にー１進んだのち
x軸方向に１、y軸方向に1進んだ後ですよね？

>これってベクトルの合成で平行四辺形を描いているのと同じですよね？
何で平行四辺形を描いてることになるんですか？

回答No.2

noname#215361

(1)X=x-2y+1とY=x+y-1からyを消去すると
X=x-2(Y-x+1)→Y=(-1/2)X+(1/2)(3x-1)
0≦x≦1から-1/2≦(1/2)(3x-1)≦1
よって点P(X,Y)は、Y=(-1/2)X-1/2とY=(-1/2)X+1の間を動く

(2)X=x-2y+1とY=x+y-1からxを消去すると
X=(Y-y+1)-2y+1→Y=X+3(y-2/3)
0≦y≦1から-2≦3(y-2/3)≦1
よって点P(X,Y)は、Y=X-2とY=X+1の間を動く

(1)(2)から、点P(X,Y)は図の網目部分(平行四辺形の周および内部)を動く

お礼

御返答有難うございます

補足

皆ベクトルで考えてましたがこういう考え方もあるんですね、有難うございます

回答No.1

gohtraw

添付図にあるように、ベクトルで考えましょうか。

例えばｘｙ平面上に原点O、点AおよびBがあるとします。
ベクトルOAをａ、ＯＢをｂと
します。

で実数ｐおよびｑ（いずれも０以上１以下）を用いて、
ｐ・ａ＋ｑ・ｂ　・・・（１）
という位置ベクトルで表される点を考えます。

例えばｐ＝１、ｑ＝０だったらこの点は点Ａに一致します。
ｐ＝０、ｑ＝１だったら点Ｂに一致します。
ｐ＝ｑ＝１だったらＯＡＢを三つの頂点とする（そしてＡＢが
対角線であるような）平行四辺形の
もう一つの頂点に一致します。

つまり、上記の位置ベクトルで表される点は平行四辺形の
辺上および内部にあります。

この問題も同様で、点（Ｘ，Ｙ）の位置ベクトルは
（Ｘ，Ｙ）＝（ｘ－２ｙ＋１、ｘ＋ｙ－１）
で表され、このＸ成分、Ｙ成分をｘを含む項、ｙを含む項、
定数項に分けて
（Ｘ，Ｙ）＝ｘ（１，１）＋ｙ（－２，１）＋（１、－１）
と変形します。上記の（１）と似てるでしょ。ここで添付図中
点（１、－１）をＱ、点（２，０）をＲ，点（－１，０）をＳとすると、
ｘ＝０、ｙ＝１だったら点Ｐは点Ｓに一致します。
ｘ＝１、ｙ＝０だったら点Ｒです。
ｘ＝ｙ＝１だったら点Ｐは点Ｑ，Ｒ,Sを三つの頂点とする平行
四辺形（添付図）のもう一つの頂点に一致します。
上記の（１）と似てるでしょ？
ただ違うのは定数項です。（１）の場合は
ベクトルａおよびｂの始点を原点においていたので定数項はありません。
（Ｘ，Ｙ）の場合は定数項の部分が（１、－１）であることは
ベクトルＱＲおよびＱＳの始点が（１、－１）であることを意味します。

お礼

御返答有難うございます

補足

ｘ（１，１）やｙ（－２，１）の（１，１）や（－２，１）はx軸で正方向で1進みy軸で正方向に1進む、x軸負方向に2進みy軸正方向に1進むという事ですか？

>ｘ＝ｙ＝１だったら点Ｐは点Ｑ，Ｒ,Sを三つの頂点とする平行
>四辺形（添付図）のもう一つの頂点に一致します。
この場合だけ分かりません座標で考えると(0,1)に移るという事ですか？