定積分で分からない問題があります。

質問

添付写真、280です。

正直なところ方針から見当がつきません。
さわりだけでも教えて頂けるとありがたいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

spring135 · ベストアンサー

ひたすら計算するだけの話です。

∫(-1→1)(x^2-ax-b)^2dx=∫(-1→1)(x^4+a^2x^2+b^2-2ax^3+2abx-2bx^2)dx

=[x^5/5-2ax^4/4+(a^2-2b)x^3/3+2abx^2/2+b^2x](-1→1)

=2(a^2-2b)/3+2b^2+2/5=2a^2/3+2(b^2-2b/3)+2/5=2a^2/3+2(b-1/3)^2+8/45

これは

a=0, b=1/3のとき最小値8/45をとる。

お礼

なんと、普通に計算すれば良かったのですね。
ありがとうございました！

回答No.3

transcendental

ｆ（ａ，ｂ）を計算します。
ｆ（ａ、ｂ）＝２∫[0 to 1]｛ｘ＾４＋（ａ＾２－２ｂ）ｘ＾２＋ｂ＾２｝ｄｘ
＝２｛１／５＋（ａ＾２－２ｂ）／３＋ｂ＾２｝
＝（２／３）ａ＾２＋２（ｂ－１／３）＾２＋８／４５
となりますから、ｆ（０、１／３）＝８／４５
が最小値です。

お礼

ありがとうございます。
よろしければ、昨日答えて頂いた質問の補足にも回答して頂けると嬉しいです。

回答No.1

info222_

一番オーソドックスで間違いなく解ける、２乗を展開する方法をやってみましょう。積分区間が正負対称なのでxの奇数乗の項の積分はゼロ、xの偶数乗の項の積分はx>0の積分区間の2倍となることを使います。

f(a,b)=∫[-1,1] (x^2-ax+b)^2 dx
=2∫[0,1] (x^4+(a^2+2b)x^2+b^2) dx
=2[(1/5)+(1/3)(a^2+2b)+b^2]
=(2/3)a^2+2(b+(1/3))^2+8/45
≧8/45
等号はa=0, b=-1/3のとき成立

(答) a=0, b=-1/3,　最小値f(0,-1/3)=8/45

お礼

なるほど、そういう計算の工夫も出来るんですね。
ありがとうございました。