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不思議なパラドックス：長さと極限
funoeの回答
- funoe
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えっと、かいつまんで。 ＞こんな簡単に起こるパラドックスが、数学では問題視されてないとしたら、 問題視はしていませんね。問題提起そのものは古典です。 ＞では、n が無限大の極限を考えたらどうなるでしょうか。 ＞これらの正三角形の高さは明らかにゼロに成るので、これらを繋いだジグザク全体は、 ＞x 軸上の線分 [0,1] に収束しますが、全体の長さは２に他なりません。 正三角形の高さがゼロになるのではなくて、正三角形の高さの極限値がゼロになるんですね。 個々の正三角形の高さは決してゼロにはなりません。 これらを繋いだジグザク全体の曲線がx 軸上の線分 [0,1] に収束すること自体は正しいです。 しかし、収束することと、「線分に一致」することはまったく異なります。 （この辺のニュアンスの差が重要なんですね） ＞これは、n が無限大の極限で、全体の長さ２のジグザクは、実は、 長さが１の線分と同一視出来る事を意味してるのでしょうか？ ここで、怪しげな「同一視」という言葉が出現していますが、この言葉の意味は？ ジグザグは線分（0,1）に収束する・・・正しい ジグザグが線分(0,1)になる・・・そんなことはない 1/ｎ （ｎ→∞） を考えたとき 1/1、1/2、1/3、1/4、・・・・ 極限はゼロ。 この数列はゼロに収束する。 というのは正しいですが、 1/ｎがゼロになる（1/ｎがゼロと同一視できる）というセンテンスには同意できません。 「1/ｎがゼロと同一視できるから、正数が０と一致してしまいます。 正数と負数とゼロとはそれぞれ異なるものです。 こんな簡単に起こるパラドックスが、数学では問題視されてないとしたら大変な話だとも思うのですが？」 とはならないのと一緒です。
noname#195146
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