線形代数

質問

次の連立方程式が、自明な解以外の解をもつように、ａの値を定めて、その解を、掃き出し法によって、求めよ

4x-2y-az=0
2x-3y+ z=0
3x- y-2z=0

参考書によると、a=2 x=k(1 1 1)^T

全くわかりません

詳しい解説お願いします

回答No.1

178-tall · ベストアンサー

係数行列の行列式が非零だと、自明な解しか無い。…ので、行列式が零になるよう a を決める。
(くわしくは、テキストでも見て…)

行列式は、
　| 4　-2　-a ;
　　2　-3　 1 ;
　　3　-1　-2 |　　= D

1 行目で展開してみる。
　D = 4*|-3　1 ; -1　+　2*|2　1 ; 3　-2 |　-　a*|2　-3 ; 3　-1 |
　　= 4*7 - 2*7 - a*7 = 2*7 - a*7
これが零になるのは a=2 のとき。

「掃き出し法」は「知らぬ存ぜぬ」ことなので、ふつうに…。

勝手に 2 式、たとえば、
　4x-2y-2z=0
　2x-3y+ z=0
を選び、x=1 とすると、
　4 = 2y+2z
　2 = 3y-z
これは可解で、y=1, z=1 。
つまり、[x ; y ; z ] = [1 ; 1 ; 1 ] なる「特解？」を得る。

一般解は、(任意のλに対し) λ*[1 ; 1 ; 1 ] 。

お礼

詳しい解説ありがとうございます。