分数の割り算について

質問

今更ですが、分数の割り算についての質問です。

分数の割り算って、なぜ割る方を上下反対にしてかけ算するのですか？

計算結果が同じになるのは分かりますが、
小学校時に先生がちゃんと納得行くように教えてくれませんでした。

説明できる方、お願いします。

回答No.15

alice_44

そうかな？
有理数は、「数」だが、
分数は、それを表す割り算の式じゃない？
数そのものと表記方法の
区別ができてない気がする。

回答No.14

ORUKA1951

No.2です。
　小学生ではないのですから、きちんと[数]として理解されたので良いです。分数もれっきとした[数[です。
　中学校の数の拡張で
自然数　1,2・・
　→ 整数　　-2,-1,0,1,2
　　 → 有理数　分数で表せる数 1/3,1/2
　　　 → 実数　　(分数で表せない)無理数を含む　√2,π,e・・
　　　　 → 複素数　二乗すると負になる　中学校では習わない
　この有理数のひとつとして分数を学びます。そして実数を含めてすべてに
[交換法則]　a？b = b？a　?は計算記号　a÷b≠ b÷a ⇒ a×(1/b) = (1/b)×a
[結合法則][分配法則]　が成り立つようにするためには、
a÷bではなく、1×(1/b)と書きなおさなければなりません。これは、
　a÷(5/6)=a×(6/5) となることを意味しています。

＞小学校時に先生がちゃんと納得行くように教えてくれませんでした。
　小学校では数の拡張や、未知数の計算を指導しませんからややこしいですが、テクニックとして指導するしかないのです。

★割り算は、その割る数の逆数をかけること・・・と理解したほうが簡単で応用が利きます。
　証明は、実に簡単で、
割り算 a/b = a×(1/b)
bが(c/d)なら、a×(1/(c/d))
　分子と分母に同じdをかける。
a×((1×d)/(c×d/d)) = a×(d/c)

　割り算は「逆さにしてかける」ではなく「逆数をかける」と頭を切り替えること。
定価の3/4が7500円だったら、7500円に逆数(4/3)をかけると定価10,000円が出てくる。

回答No.13

fxq11011

自分の事ながらいやになってしまいました。
分数は、分母・分子に同じ数字を掛けても、値は変わらない、でしたね。
これを利用して分母を１にすれば分子の形がそうなるだけでした。
例　１／２、の分母を１にするにはどちらにも１／２を掛けると、（１／２）／１＝１／２
では、（１／２）／（２／３）の場合どちらにも分母の逆数３／２を掛ければ、分母は１になります、分子は（１／２）×（３／２）ですね、分母の１は不要ですね、正数を無理に分数にすれば（正数）／１ですね。
細かい説明は無かったかも知れないが、先生の言うとおりですね。
参考　分数の上下反対＝逆数
分数×その分数の逆数＝１
複分数？の分母を１にするにはその分母の逆数を掛けます、そのままでは値が変わりますので分子にも同じ数（この同じ逆数）を掛けます。

回答No.12

fxq11011

式変形で無く言葉を使ってわかりやすく整理したつもりです。
まず一つの分数の分母か大きくなれば、計算結果の値は分母に比例して小さくなる、分子が大きくなれば、計算結果の値は分子に比例して大きくなることは理解できると思います。
複分数　Ｗ / Y＝Ｚ　Ｗ，Ｙはともに分数、（Ｙ＝ａ／ｂ）、Ｗは必ずしも分数の必要はない。
分数Ｙの分母（ｂ）が１・２・３～１×ｘ の時
Ｙ＝１，1/2，1/3，～1/１×ｘ
◎従ってＺ＝１倍、２倍、３倍～１×ｘ倍 ，ＺはＹの分母の数値（ｂ）に正比例
分数Ｙの分子（ａ）が１・２・３～１×ｘ の時
Ｙ＝１，２，３，～１×ｘ
◎従ってＺ＝1/1, 1/2, 1/3～1/１×ｘ，ＺはＹの分子の数値（ａ）に反比例
故に、Ｙ＝ａ／ｂの時、Ｗ／（ａ／ｂ）＝Ｚは、比例定数ａに反比例し（＝１／ａ）、且つ比例定数ｂに正比例した（＝×ｂ）数値となる。
つまりｂ／ａ、言葉で表現すれば、ｂ倍して、ａで割る。
式にすれば、Ｗ×ｂ／ａ、（注　Ｙ＝ａ／ｂ）

回答No.11

noname#207523

a = 3 ÷ (2/5) とします。
b = 2/5 とします。

すると、 a = 3/ b です。
この式の両辺にbをかけます。

b*a = 3　になりますので、
ここでbを2/5になおします。
(2/5)*a = 3

両辺に5をかけます。
2*a = 3*5

両辺を2で割ります。
a = 3*5/2

すなわち
a = 3*(5/2)となります。

いかがでしょうか。

回答No.10

fxq11011

分数自体は値そのものではなく、計算式です。
値は分母の数値に反比例します（分母が大きくなれば、値は小さくなります）。
分母側の分数の分母が２倍になれば（分母側分数の値は1/2）、全体の値は２倍、同じく３倍にならば、全体の値は３倍・・・以下同じ。
次に、分母側分数の分子の数値について、分母側分数の値に正比例する＝２倍になれば、分母側分数の値が２倍になり、全体の値に対しては反比例（全体の値は半分）。
以上で、分母側の分数の分子が１の時、分母側分数の分母が１・・・１Xの時全体の値は１・・・１X倍になる、つまり分母側分数の分母の数値を掛けることになります。
そしてそのままの状態で分母側分数の分子の数値について考えると、１・・・１Xの時全体の値は１/1...1X
上でそのままの状態を１・・・１Xで割ることになります。
結果を文章にすれば、分母を掛けて、分子で割る、となります。
注　１・・・１X＝１、１×２、１×３、１×４～１×X

回答No.9

alice_44

そう、それでよい。

回答No.8

mnakauye

こんにちは、

　これはきちんと説明がつくのですが、

　きちんと説明ができる人が少なくてなんとなくすんでしまっています。

　さて、分数の計算は割合の計算ですよね、

　　そして分数そのものは、単位の数　という考えが基準になっています。

　　たとえば、

　　　４／５÷１／５は、同じ５分の一が単位として考えられるので、

　簡単に　分子同士を割ればよい　と言うことになります。

　　そこで一般の割り算になったときに、

　　４／５÷２／３を、同じ単位のもので考える必要があります。

　　４／５は単位１を５つに分けたもの、

　　２／３は単位１を３つに分けた２つ

　　です。

　　この２つの分数を共通の単位で考えるためには、

　　５つに分けるということと３つに分けると言うことを基に考えれば、

　　全体１を３×５で分けることが、基準の単位を見つけることになります。

　　すなわち

　　４／５　は　１２／１５　で２／３　は　１０／１５

　　　それぞれ１／１５が１２個のものと１０個のものと言うことになります。

　　すると先ほどのように分母が同じですから、

　　　分子同士を割ればよい

　　と言うことになります。

　　　これを式で書けば、

　　　　　４／５÷２／３　＝　１２／１５÷１０／１５　＝１２÷１０　＝６／５

　　　この途中の式を、分母分子の１２や１５や１０を出てきた理由から書けば、

　　　４／５÷２／３　＝　（４×３）／(５×３）÷（２×５）／（３×５）　

　　　　ここで　　分母が相殺されて　　（４×３）÷（２×５）になり

　　　この÷の記号を分数で書けば、

　　　　　　（４×３）／（２×５）　もとの分数を考慮に入れると

　　　　＝（４×３）／（５×２）　となりますから、後ろの分数をひっくり返して

　　　かけているように見えますね。

　　　それで途中を省略して、分数の割り算は、割る数をひっくり返して（つまり逆数を）

　　かければよいということになります。

　　ようは、計算を途中を省略しているだけなのです。

　　小学校の先生はすべからくこれを説明するべきなのですが、

　実は数学ができる人のなかに、このことを知らない人が多いので、

　小学校教員養成のなかでも、取り上げない人が多いのです。

　　分数が小学生の最初の障害点になることが多いにもかかわらず、

　問題ですよね。

回答No.7

customar

意味はないよ。数学好きかどうかの別れ道がそこだろうね。

３＝３／１

は同意ですか。

２÷３＝２×１／３

は納得ですか。
分数３／１で割るのはひっくり返して掛け算にしました。

納得行くようにというよりも同意事項が複数ある作業になると納得しがたく感じるのです。複数のルールを一つのルールに変えて直面するからです。日本で学ぶ数学は考えたらダメです。考えない体系ですから。亀より兎で。

回答No.6

alice_44

「上下を反対にして掛ける」は、単なる
計算上の小技であって、掛け算の意味とは
あまり関係がありません。
値が一致することを確認したら、それで終わり。
あとは、便利に使うだけです。
納得できる説明を希望するような事柄では、
そもそもありません。

分数÷分数 の意味を考えたかったら、
足し算引き算のときと同様に、まず通分
してごらんなさい。
分数÷分数 の割り算が 整数÷整数 と同じこと
であることが、ひと目で解るようになります。