行列A=A^2の時、im(A)とker(A)は？

質問

以下の問題がわからずに困っております＞＜
ご存知の方がいらっしゃいましたらご教授願います。

問題

以下は正しいか、誤りか？証明せよ。

Aはnxn行列でA=A^2 とするとき
im(A)とker(A)はゼロベクトルのみを共通にもつ。

回答No.3

alice_44 · ベストアンサー

x ∈ ImA,　x ∈ KerA なら、
∃y, x = Ay であって、
0 = Ax = A(Ay) = (A^2)y = Ay = x と計算できるから、
ImA ∩ KerA = { 0 } と解る。
何も矛盾しない。

お礼

最も証明がわかりやすかったのでベストアンサーとさせて頂きます。いつもありがとうございます！

回答No.2

ur2c

これは線形写像を視覚化できてるか，という問題でしょう．

空間に A をかませる．再度，かませる．
A^2 = A なので，あとは A を何回かませても同じ．
なら A は投影みたいなものだ．（正式には射影．）

im と ker とで 0 以外に共通要素があるかを「見」る．
あると思えば例を作って見せる．
ないと思えばあると仮定して矛盾を示す．

お礼

ご回答ありがとうございます。ちょっと高度な回答（？）に感じますが、勉強を続ける中で理解できるようにガンバリマス！
引き続きよろしくお願い致します。

回答No.1

Tacosan

そもそも
「以下は正しいか、誤りか？証明せよ。」
って, すごく不思議な問だと思う.

誤りだったら証明できないよねぇ....

とりあえず固有値でも考える?

お礼

確かに！誤りであれば例を挙げればよいかと！