3DCGの透視投影変換の途中式の変形の不明点3つ

質問

お世話になっております。
透視投影変換の途中式の変形の不明点が3つあるのですが

1つ目

x ''
= 2 ( x ' - l ) / ( r - l ) - 1
上の行の式から下の行の式への式変形が分かりません(1つ目)
= 2x ' / ( r - l ) - 2l / ( r - 1 ) - 1

2つ目と3つ目

x ''
= - 2nx / ( r - l ) z - 2l / ( r - l ) - 1
上の行の式から下の行の式への式変形が分かりません(2つ目)
= - 2nx / ( r - l ) z + (- 2l - r + l ) / ( r - l )
上の行の式から下の行の式への式変形が分かりません(3つ目)
= - 2nx / ( r - l ) z - ( r + l ) / ( r - l )

よろしくお願いいたします。

回答No.1

info22_ · ベストアンサー

質問のタイトルは大学生の質問のようですが、内容は文字を使った簡単な分数計算で、おそらく中学1～2年位の数学レベルです。分数計算そのものは小学校高学年レベルですが、文字を使う分数計算の意味で中学レベルになるのかな？

>1つ目

>x ''
>={ 2 ( x ' - l ) / ( r - l )} - 1
>上の行の式から下の行の式への式変形が分かりません(1つ目)
>= {2x ' / ( r - l )} - {2l / ( r - 1 )} - 1

これば前の分数の分子を2つに分けて、別々の分数にしただけ。
公式：(A-B)/C=(A/C)-(B/C)
で
A=2x', B=2l , C= r - l とすればよい。
なお、最後の「-1」はそのまま残す。

>2つ目と3つ目

>x ''
>= -{ 2nx / ( r - l ) z} - {2l / ( r - l )} - 1
>上の行の式から下の行の式への式変形が分かりません(2つ目)
>= - 2nx / ( r - l ) z + (- 2l - r + l ) / ( r - l ) ,,,(※)

これは最初の項はそのまま残し、2項目と3項目の「-1」を通分するだけ。
通分のため、3項目の分母を2項目の分母と同じ「 r - l 」に合わせる。
- {2l / ( r - l )} - 1
={-2l / ( r - l )}-{( r - l )/( r - l )}
={-2l / ( r - l )}+{( -r + l )/( r - l )}]
通分の公式
(A/C)+(B/C)=(A+B)/C
で
A=-2l, B=-r + l , C=r - l とすれば良い。
すると
(A+B)/C=(-2l-r+l)/r+l　…(☆)
と(※)の式の第2項が出てくる。

>上の行の式から下の行の式への式変形が分かりません(3つ目)
>= - {2nx / ( r - l ) z} - {( r + l ) / ( r - l )} …(◆)

(☆)の式の分子を計算すると
(A+B)/C=-(r+1)/r+l　…(★)
となるので(※)の式に戻せば
(◆)の式になります。
なお(※)の第一項は(◆)の第一項としてそのまま残しています。

お分かりになりました？
よくご覧頂ければ、中学程度の分数計算（通分と分数の分解）をしているだけですよ。

お礼

info22_さま
ありがとうございます。

長く迷いましたが種明かしを聞きますと
とてもシンプルなものだったのでよかったです。

テキストでの数式は
割り算のスラッシュ/に慣れないと
項の境界が読みづらいですね。
中カッコを付けたinfo22_様の解説は
とても分かりやすかったです。

また、よろしくお願いいたします。