数学の関数の問題で困っています。

質問

この問題の解答をお願いします。
途中過程も教えてください。

問題↓
http://www.fastpic.jp/images.php?file=8852899262.jpg
条件↓
http://www.fastpic.jp/images.php?file=1768234099.jpg

よろしくお願いします。

回答No.3

alice_44

URL が文字化けしたので、打ち直します。
→ 参考URL欄ヘ

三角関数を使った表記は、
u(x) = A e^(ikx) + B e^(-ikx)　　; A,B は定数
　　　= A { cos(kx) + i sin(kx) } + B { cos(kx) - i sin(kx) }
　　　= C cos(kx) + D sin(kx)　　; C=A+B, D=(A-B)i
　　　= R sin(kx + E)　　; R=√(C^2+D^2), tanE=C/D　; R,E は定数
です。

参考URL：

http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/~tanimura/class/H23math4.pdf

回答No.2

alice_44

ともあれ、
具体的な問題の方では、[*] が
L = (d/dx)^2 となるので、この L の固有関数は
(d/dx)^2 u(x) = λu(x),　　　←[**]
u(-π) = u(π),
u'(-π) = u'(π)
の解でよいのでしょう。

[**] は、定係数斉次線形微分方程式ですから、特性方程式を使って
型どおりに解けば、(参考→ http://www.phys.cs.is.nagoya-u.ac.jp/‾tanimura/class/H23math4.pdf )
一般解は、u(x) = A e^(x√λ) + B e^(-x√λ).
これを、境界条件の式ヘ代入すると、
固有関数が存在するのは、e^(2π√λ) = 1 のとき。
すなわち、λ = -k^2, k は自然数 のときです。

オイラーの等式 e^(iθ) = cosθ + i sinθ から、
この固有関数は、三角関数であることが判ります。

回答No.1

alice_44

↓ふたつめのURL
x∈[a,b] で定義された二階微分演算子
L = (d/dx){p(x)(d/dx)} - q(x)
について、
L[u(x)] = λ u(x),　　　←[*]
α u(a) + α' u'(a) = 0,
β u(b) + β' u'(b) = 0
(α,α',β,β'は定数)
を満たす u(x) が、定数関数 0 の他に
存在するとき、
定数 λ を L の固有値、
u(x) を L の固有関数という。

↓ひとつめのURL
p(x) = 1,
q(x) = 0,
a = -π,
b = π
u(a) = u(b),
u'(a) = u'(b)
のとき、固有関数系は三角関数であることを示せ。

という質問ですね？
引用間で、境界条件の与え方が一致していないことと、
固有関数「系」の定義は書かれていないことが、
気になりますが…