確率の問題です。お願いします。

質問

数直線上を動く点Sがあり、Sは始め原点にある。
「１つのサイコロを振り、３の倍数の目が出たらSを正の方向に２だけ進ませ、
それ以外の目が出たら、Sを負の方向に１だけ進ませる」という操作を５回行って
試行を終了する。ただし、それまでにSと原点との距離が４以上になれば、
そこで試行を終了する。

（１）操作を3回行うことが出来、かつ3回の操作でSが原点に到達する確率を求めよ。

（２）試行を終了したときのSの座標が１である確率を求めよ。

（３）試行を終了するまでに行う操作の回数の期待値を求めよ。

問題数が多いと思いますが、教えてください！
よろしくお願いします。

回答No.2

TOHOKUEAGLESNO1 · ベストアンサー

確かに他の方のおっしゃる通りですね。

自分はこれこれこういう風に考えたけどどう思う？という感じでしょうか。

僕は考えたので提示します。(ただし完璧である保証はありません。参考程度です。)

3の倍数、つまり３か６であれば正の方向に2進むんですね。

それをTとでもしましょう。(英語のtwoより）

他（１，２，４，５）であれば、負の方向に1ですか。

これをOとしましょう。（英語のoneより）

終わり方は「5回やるか距離が4になるか」ですよね

（１）操作を3回行うことが出来、かつ3回の操作でSが原点に到達する確率を求めよ。

　　　これはTが一回、Oが2回ではないでしょうか？

　　　2進んで2下がるので。

　　　これしか浮かばないです。

　　　確率は(1/3)×（2/3)"=4/27

　　　TとOは並べ替えるので3C2=3通りです。

よって3×（2/27)=4/9

（２）試行を終了したときのSの座標が１である確率を求めよ。

まず最初の2回を決めちゃいましょう。

　　　T→Tだと、距離が４になり、終わってしまい、座標1にならないので

　　　不採用。

　　　T→Oのとき

　　　これは２進んで1下がるので現在座標1です。

　　　よって残り3回で0進んだようにします。

　　　それがT→O→O。

　　　T→O→T→O→Oから確率は（1/3)"(2/3の3乗）＝8/243

ただし、T→O→Oは並べ替えできるので3C2=3通り。

　　3×（8/243)=8/81・・(1)

O→Tのとき、これは上記と似たようなもんなので8/81・・(2)

　　　O→Oのとき、

　　　これは座標―2ですね。2歩下がってるので。

　　　ここから３つ進むようにします。

　　　それがT→T→O

　　　O→O→T→T→Oにより、（2/3の3乗)（1/3)"=8/243

さらにT→T→Oは並べ替えできるため、3C2=3通り。

　　　3×（8/243）＝8/81・・・(3)

　　(1)，(2)，(3)を足して24/81=8/27　　　

（３）試行を終了するまでに行う操作の回数の期待値を求めよ。

まず1回では終わらせられないので、これは不採用。
　　（１，2しか進めない）

　　2回の時、

　　これはT→T以外あり得ないので（1/3)"=1/9

3回の時、

　　これはあり得ないので不採用。

　　4回の時、

　　　Oが4回でー4になり、距離が4です。

　　　（2/3の4乗)＝16/81

０→T→T→Tで、距離が5になり、条件を満たします。

　　　（2/3)(1/3の3乗）＝2/81

Ｔ→O→T→T=2/81

以上足して20/81

5回の時,

T→Oと来たならば、

　　　T→O→T

T→O→O

O→T→T

O→T→O

O→O→T

O→O→O

が来ます。計算めんどくさいので結論書くと48/243です。

　　　O→Tの時も同様の考えになり、48/243

　　　O→Oとなると・・・

　　　T→T→T

TTO

TOT

TOO

OTO

OTT(矢印がめんどくさくなりました)

が来ます。

　　　確率にして60/243。

　　　以上足して156/243。

　期待値の計算は(その時のトピック)×（確率）+(その時のトピック)×（確率）+(その時のトピック)×（確率）+・・・・をやれば出ます。(それは知ってますよね？トピックというと得点、枚数等あります。今回は回数ですね)

　　　2×(1/9)+4×(20/81)+5×（156/243)

=358/81

と出ましたが、さてどうでしょう？

お礼

ご指摘ありがとうございます
次から気をつけます。

分かりやすい解説ありがとうございました。
自分でもう一度解いてみたいと思います。

回答No.4

alice_44

結局、質問者の考えは聞けないんだろうな。
このサイトでは、いつものことだけれど。

お礼

わざわざご回答ありがとうございました。

回答No.3

yyssaa

＞３の倍数の目は３と６だから３の倍数の目が出る確率は1/3、
３と６以外の目が出る確率は1-(1/3)=2/3。
n回(n=1～5)の操作で３の倍数の目がm回(0≦m≦n)、それ以外の
目が(n-m)回出た場合のSの座標をS(n,m)とすると、m回正の方向
へ２ずつ進ませ(n-m)回負の方向へ１ずつ進ませるのだから、
S(n,m)=2m-(n-m)=3m-nとなる。そしてS(n,m)の生じる確率を
P(n,m)とすると、P(n,m)はn回中1/3の確率で生じる事象がm回、
2/3の確率で生じる事象が(n-m)回生じる確率だから
P(n,m)=nCm(1/3)^m(2/3)^(n-m)になる。以下計算。

n=1のときはm=0or1だから
S(1,0)=0-1=-1,P(1,0)=1C0(1/3)^0(2/3)^1=2/3
S(1,1)=3-1=2、P(1,1)=1C1(1/3)^1(2/3)^0=1/3

n=2のときはm=0or1or2だから
S(2,0)=0-2=-2、P(2,0)=2C0(1/3)^0(2/3)^2=4/9
S(2,1)=3-2=1、P(2,1)=2C1(1/3)^1(2/3)^1=4/9
S(2,2)=6-2=4、P(2,2)=2C2(1/3)^2(2/3)^0=1/9(試行終了)・・・(ウ)
n=3以上も同様に計算したいが、S(2,2)=6-2=4で試行を終了する
ので、S(n-1)からの計算になる。以下、S及びPの()内の-の後の
数字は式を区別するための添字である。

n=3のとき
S(3-1)=-2+2=0、P(3-1)=P(2,0)*(1/3)=4/27
S(3-2)=-2-1=-3、P(3-2)=P=P(2,0)*(2/3)=8/27
S(3-3)=1+2=3、P(3-3)=P=P(2,1)*(1/3)=4/27
S(3-4)=1-1=0、P(3-4)=P(2,1)*(2/3)=8/27
S(3-4)=S(3-1)なのでP(3-4)はP(3-1)に加えてP(3-1)=12/27=4/9
整理すると
S(3)=0、P(3-1)=4/9・・・・・・・・(ア)
S(3)=-3、P(3-2)=8/27
S(3)=3、P(3-3)=4/27

n=4のとき
S(4-1)=0+2=2、P(4-1)=P(3-1)*(1/3)=4/27
S(4-2)=0-1=-1、P(4-2)=P(3-1)*(2/3)=8/27
S(4-3)=-3+2=-1、P(4-3)=P(3-2)*(1/3)=8/81
S(4-4)=-3-1=-4、P(4-4)=P(3-2)*(2/3)=16/81
S(4-5)=3+2=5、P(4-5)=P(3-3)*(1/3)=4/81
S(4-6)=3-1=2、P(4-6)=P(3-3)*(2/3)=8/81
S(4-1)=S(4-6)だからP(4-1)=4/27+8/81=20/81
S(4-2)=S(4-3)だからP(4-2)=8/27+8/81=32/81
整理すると
S(4)=2、P(4-1)=20/81
S(4)=-1、P(4-2)=32/81
S(4)=-4、P(4-4)=16/81(試行終了)・・・・・・(エ)
S(4)=5、P(4-5)=4/81(試行終了)・・・・・・・・(オ)

n=5のとき
S(5-1)=2+2=4、P(5-1)=P(4-1)*(1/3)=20/243
S(5-2)=2-1=1、P(5-2)=P(4-1)*(2/3)=40/243
S(5-3)=-1+2=1、P(5-3)=P(4-2)*(1/3)=32/243
S(5-4)=-1-1=-2、P(5-4)=P(4-2)*(2/3)=64/81
S(5-2)=S(5-3)だからP(5-2)=40/243+32/243=8/27
整理すると
S(5)=4、P(5-1)=20/243
S(5)=1、P(5-2)=8/27・・・・・・・・(イ)
S(5)=-2、P(5-4)=64/81

（１）操作を3回行うことが出来、かつ3回の操作でSが原点に到達する確率を求めよ。
＞上記(ア)より4/9・・・答
（２）試行を終了したときのSの座標が１である確率を求めよ。
＞上記(イ)より8/27・・・答
（３）試行を終了するまでに行う操作の回数の期待値を求めよ。
＞上記(ウ)より2回で終了する確率は1/9、(エ)(オ)より4回で終了
する確率は(16/81)+(4/81)=20/81
従って5回で終了する確率は1-1/9-20/81=52/81
よって求める期待値は2*(1/9)+4*(20/81)+5*(52/81)=358/81
≒4.4から約4.4回・・・答

回答No.1

alice_44

で、投稿までに、貴方自身は何を考えてみたの？
→補足へ！