次の問題の解き方を教えてください。

質問

次の問題の解き方を教えてください。

x軸上に1辺があり、放物線 y = 25 - x^2 とx軸で囲まれた部分に内接する長方形がある。
(1)この長方形の周の長さが最大になる時の、x軸上の辺の長さと、長方形の周の長さを求めなさい。
(2)この長方形の周の長さが34以上であるとき、x軸上の辺の長さの範囲を求めなさい。

よろしくお願いします。

回答No.4

yyssaa · ベストアンサー

(1)この長方形の周の長さが最大になる時の、x軸上の辺の長さと、長方形の周の長さを求めなさい。
＞x軸に平行な辺と放物線との交点のx座標を±aとすると、
その点のy座標は25-a^2。周の長さをL(a)とすると
L(a)=4a+2(25-a^2)=-2(a^2-2a)+50=-2(a-1)^2+52
よってL(a)はa=1のときに最大値52となるので、このときの
x軸上の辺の長さ=2a=2・・・答え
長方形の周の長さ=52・・・答え
(2)この長方形の周の長さが34以上であるとき、x軸上の辺の長さの範囲を求めなさい。
＞L(a)=4a+2(25-a^2)=-2a^2+4a+50≧34
a^2-2a-8=(a-4)(a+2)≦0から-2≦a≦4
x軸上の辺の長さは2aなので、0＜x軸上の辺の長さ≦8・・・答え

回答No.3

info22_

(1)
長方形の横の辺の長さを2a(a>0)とすれば、縦の辺の長さは 25-a^2 となるから
長方形の周の長さf(a)=2{2a+(25-a^2)}=2{26-(a-1)^2}≧52 (等号はa=1のとき成立)

長方形の周の長さが最大になる時
　x軸上の辺の長さ2a=2、
　長方形の周の長さf(1)=52

(2)
(1)のf(a)の式より
f(a)=2{2a+(25-a^2)}=2{26-(a-1)^2}≧34
が成立するaの範囲を求めると
　26-(a-1)^2≧17
　(a-1)^2≦9
　-3≦a-1≦3
　∴-2≦a≦4
したがって、x軸上の辺の長さ2aの範囲は
　-4≦2a≦8

回答No.2

birth11

(1)放物線は y 軸に対して対称な図形である。
よって x軸上に長方形の1返があるとき、長方形の縦線は a > 0 と考えて x = - a と x = a 上にある。
このとき、長方形の横の長さは 2 a
長方形の縦の長さは ( 25 - a^2 )

長方形の周の長さは
2a * 2 + 2 * ( - a^2 + 25 ) = 4 a - 2 a^2 + 50 = - 2 ( a - 1 )^2 + 52……( i )

よって、a = 1 のとき長方形の周の長さが最大となり、
そのとき、x軸上の辺の長さは長方形の横の長さと等しく、2 a = 2 * 1 = 2…………(答)

( i )式より長方形の周の長さは 52 ………(答)

(2) (1) の ( i )式より、長方形の周の長さが 34 以上であるとき、
- 2 ( a - 1 )^2 + 52 ≧ 34
2 a^2 - 4 a - 16 ≦ 0
( a + 2 ) ( a - 4 ) ≦ 0
a > 0 なので 0 < a ≦ 4
ゆえに、0 < 2 a ≦ 8

よって、この長方形の周の長さが34以上であるとき、x軸上の辺の長さの範囲は、
0より大きく8以下である。……………(答)

回答No.1

k3eric

（１）
x軸上の辺の長さを　t　とすると、１つの頂点は放物線上にあるから縦の長さは　25-tt　になる。
ただし　長方形は囲まれた部分に内接しなくてはならないから "0 < 25 - xx" < "25 ⇔ 0 < x < 5"

（周の長さ）
= 2t + 2(25 - tt)
= -2tt + 2t + 50
= -2{t - (1/2)}^2 + (1/2) + 50 ( 0<x<5 )

最大値になるには（x軸上の辺の長さ）＝ 1/2、（長方形の周の長さ）＝ 101/2

（２）
（周の長さ）≧ 34だから
-2tt + 2t + 50 ≧ 34
-2tt + 2t + 26 ≧ 0
tt - t - 13 ≦ 0
解の公式を使って解を求めると
t = (1/2){1 ± √(53)}
範囲は
∴ (1/2){1 - √(53)} ≦ x ≦ (1/2){1 + √(53)}

＃こうなると思います。