確率の質問

質問

確率の求め方について質問です

それぞれA,B,C,Dと記載されている独立した玉があります
これを箱の中に入れて一回ずつ取り出して出た文字をメモして玉を戻す作業をn回繰り返します
このとき、すべての文字が一回以上ずつ出現する確率の求め方を教えてください

回答No.1

nag0720 · ベストアンサー

k種類の玉を一回ずつn回取り出して一列に並べる（取り出した玉はそのつど戻す）。
このとき、全種類の玉が一回以上出現する並べ方の数をS(k,n)とすると、
S(1,n)=1
S(2,n)=2^n-2C1*S(1,n)=2^n-2
S(3,n)=3^n-3C1*S(1,n)-3C2*S(2,n)=3^n-3*2^n+3
S(4,n)=4^n-4C1*S(1,n)-4C2*S(2,n)-4C3*S(3,n)=4^n-4*3^n+6*2^n-4

求める確率は、
(4^n-4*3^n+6*2^n-4)/4^n

お礼

解答ありがとうございます
おかげで解決しましたo(_ _)o

回答No.2

yyssaa

A,B,C,Dをn個並べる並べ方
:4^n通り・・・・・・(ア)
A,B,C,Dのうちの1文字のn個の並べ方
:4C1通り・・・(イ)
A,B,C,Dのうちの2文字のn個の並べ方
:4C2(2^n-2C1)通り・・・(ウ)
A,B,C,Dのうちの3文字のn個の並べ方
:4C3{3^n-3C2(2^n-2C1)-3C1}通り・・・(エ)
従ってA,B,C,Dの全てが含まれる並べ方
:(ア)-(イ)-(ウ)-(エ)=4^n-4-6(2^n-2)-4{3^n-3(2^n-2)-3}
=4^n-4*3^n+6*2^n-4
求める確率=(4^n-4*3^n+6*2^n-4)/4^n
=1-(4*3^n-6*2^n+4)/4^n=1-4(3/4)^n+6*4^(-n/2)-4^(1-n)・・・答え

お礼

丁寧な解説ありがとうございました
理解できましたo(_ _)o